Количественные методы анализа хозяйственной деятельности - Ричард Томас

покупать новую группу товаров'' Будут ли наши конкуренты подгонять цены под нас'' Приведет ли наша рекламная кампания к увеличению объема продаж? Примут ли сотрудники предложенную систему вознаграждения'' Сможет ли наша учебная программа привести к повышению производительности'' Вот такое множество проблем, требуюших принятия управленческих решений, несут в себе неопределенности такого рода. Изучение вероятности затрагивает неопре­ деленность и имеет целью определить объективные измерители для ряда потен­ циальных событий Так, в таких специфических областях, как управление рис­ ками и обеспечение гарантии качества, применяются разнообразные методы оценки вероятности

Знание правил оценки вероятности может помочь руководителю при оцен­ ке возможности наступления отдельных событий и повысить качество прини­ маемых решений Оценка вероятности также поможет руководителю уяснить практические возможности выборочных исследований Необходимо понять со­ отношение результатов, полученных при выборке, и фактических характерис­ тик совокупности Например, в ходе маркетингового исследования было уста­ новлено, чго 20% выборки из 50 потенциальных клиентов предпочитают марку X С тем чтобы принять осознанное решение по потенциалу данной марки, необходимо уяснить, насколько полученные выводы распространяются на всю совокупность потребителей

Например, означает ли это, что 20% всех потребителей предпочтут марку X'' Насколько вероятно, что фактический процент составляет менее 10%'' Эти вопросы подразумевают знание основ распределения вероятностей, о чем и

«Даунбрукс» — кондитерская фабрика, расположенная в Манчестере (Ан­ глия) Компания производит ряд шоколадных изделий, в том числе популярные батончики «Биг-Байт» и шоколадные трюфеля «Труфл». Компания основана в 1876 г и с тех пор ни разу не закрывалась. Компания насчитывает свыше 300 сотрудников, занятых непосредственно на производстве в Манчестере, и еще 60 человек административно-управленческого аппарата головной конторы, рас­ положенной в 3 милях от фабрики. Компания осушествляет сбыт ряду предпри­ ятий оптовой торговли, а также напрямую в крупные сети розничных магази­ нов В 1985 г «Даунбрукс» открыла свой первый розничный магазин в Манчес­ тере, в котором реализует только изделия собственного производства, в том числе «домашние» сладости. С тех пор компания открыла еше пятнадцать мага­ зинов во всех уголках Великобритании, в том числе в Ливерпуле, Бристоле, Эдинбурге и Кантербери

Компания использует различные методы принятия решений с учетом ве­ роятности в таких областях деятельности, как разработка товара, маркетинг и контроль качества Например, компания должна оценить успешность нового товара и на основании этого принять решения, связанные с текущими и пер­ спективными производственными планами. Далее, тщательно отслеживается качество товаров В частности, по товарам массового производства, например батончиком «Биг-Байт», регулярно проводятся выборочные проверки Доля выбраковки по этим выборкам указывает на вероятное количество брака во всей партии Определение цены на товары и выставление гарантий качества при

зак^чючении договоров поставки частично основываются на этих вероятностных показателях. Далее в этой главе мы на конкретных примерах рассмотрим мето­ ды, используемые «Даунбрукс».

Клиника Св. Иосифа находится в Нью-Йорке и насчитывает свыше 1400 человек лечебно-медицинского персонала. Клиника рассчитана на 2000 пациен­ тов. В состав клиники входит научно-исследовательский отдел при городском Центре медицинской подготовки. В клинике имеется 1000 палат на 1 пациента, а также свыше 600 многоместных палат (в основном на 2 или 4 койки). Кроме того, клиника располагает работающим круглосуточно, без выходных и празд­ ничных дней, отделением скорой помощи.

В последнее время руководство клиники прибегает к найму внешних кон­ сультантов, в задачу которых входит изучение различных проблем, в том числе связанных с комплектованием, уходом за больными, а также резким ростом в последнее время расходов на медицинское обслуживание и, соответственно, платы за лечение. Как и многие другие больницы Нью-Йорка, клиника Св. Иосифа сталкивается с одной специфической проблемой: в настоящее время загруженность коечного фонда составляет приблизительно 80%. То есть в сред­ нем 20% коек ежедневно не заняты. Несмотря на это, отмечены случаи, когда из-за повышенного притока пациентов, особенно из районов бедствия, коеч­ ного фонда не хватало. Это приводило к тому, что тяжелых пациентов прихо­ дилось в срочном порядке направлять для лечения в другие больницы. Руковод­ ство рассматривает данную проблему как одну из приоритетных и поставило задачу изучить поступления больных и вероятность отсутствия мест на момент их поступления. Применение вероятности при изучении зафуженности коечно­ го фонда и общих вопросов спроса и предложения будет рассмотрено на при­ мерах, приведенных в данной главе.

2.1. Основы оценки вероятности

Вероятность наступления события можно описать как возможность, выра­ женную числовым значением. Оно может быть представлено либо в процентах (от О до 100%), либо фактическим значением (от О до 1). Например, в ходе последнего обследования настроений служащих компании «Даунбрукс» было установлено, что 30 из 50 обследованных работников удовлетворены организа­ ционными изменениями, внедренными в 1996 г.

Т Определение. Вероятность события выражается как значение в промежут­ ке от О до I. Вероятность, равная О, указывает на невозможность наступления события, а вероятность, равная 1, показывает, что событие обязательно наступит. А

С точки зрения вероятности полученную информацию можно представить следуюши.м образом: при выборочном обследовании процент удовлетворенных работников составил 30/50 х 100 = 60.

Таким образом, мы можем сказать, что имеется 60%-ная вероятность того, что работник выразит удовлетворение. Или вероятность того, что работник удов-

летворен, составляет 30/50 = 0.6. В общем виде основной метод расчета вероят­ ности наступления события описан следующей формулой:

Аналогично, рассмотрим другую проблему, связанную с компанией «Даунбрукс». Например, при выборочном обследовании 140 покупателей в магази­ не в Кантербери 35 покупателей сказали, что предпочитают батончики «ВигБайт» трюфелям «Труфл». С точки зрения вероятности данную информапию можно представить следующим образом:

Вероятность того, что покупатель предпочитает «Биг-Байт» =

_ Количество покупателей, заявивших о своем предпочтении «Виг-Байт» _ Общее количество опрошенных покупателей

= 35/140 = 0.25

Или в процентах: 0.25 х 100 = 25%.

Понимание основ оценки вероятности может оказать руководителю по­ мощь при принятии решений на основе простых данных. Например, начальник отдела кадров компании «Даунбрукс» может проявить интерес к информации относительно удовлетворенности работников новой организации. Выборочное обследование 50 человек, которое мы уже обсуждали, показало, что только 60% работников удовлетворены. Это может подвести руководителя к пересмотру структуры и внесению в нее дополнительных изменений, или же заставить его улучшить систему доведения информации с тем, чтобы работники лучше поня­ ли преимущества уже проведенных изменений.

Ана.,'1огично, начальник отдела сбыта может заинтересоваться популярно­ стью альтернативных товаров. Вероятность того, что покупатели предпочтут «БигБайт», равная 0.25 (т. е. 25%), может подвести к методу оценки возможных объемов продаж указанных товаров. Такие оценки базисной вероятности будут применяться и далее в тексте при анализе различных хозяйственных задач.

2.2. Комбинация событий

Часто вычисление вероятностей связано с рассмотрением ряда различных событий. Соотношение между этими события.ми оказывает влияние на оценку соответствующих вероятностей. В частности, необходимо уяснить следующие понятия

Дополняющие друг друга события. Два события называются дополняющими друг друга, если они вместе охватывают весь диапазон вероятностей. Например,

5 6 ГЛАВА 2

дополняющими друг друга событиями при исследовании настроений работни­ ков являются «удовлетворенность изменениями» и «неудовлетворенность изме­ нениями». Будет обязательным тот или иной результат, при условии, что работ­ никам не предлагаются другие варианты ответов. Рассмотрим простой вопрос, гребующий при исследовании ответов «Да» или «Нет». Эти ответы дополняют друг друга, при условии что отсутствуют другие варианты ответа, например «Не знаю».

Взаимоисключающие события. Два события являются взаимоисключающи­ ми, если отсутствует возможность их одновременного наступления. Например, возьмем исследование предпочтений покупателей. Имеются два взаимоисклю­ чающих события: во-первых, «предпочтение батончиков «Биг-Байт» и, во-вто­ рых, «предпочтение трюфелей «Труфл». Они взаимно исключают друг друга, так как покупатели не могут одновременно предпочесть и то и другое. Они вынуждены выбрать что-нибудь одно из предложенного. Аналогично, понятия «удовлетворенность» и «неудовлетворенность» работников по поводу измене­ ний в организационной структуре также взаимно исключают друг друга. Работ­ ники не могут быть одновременно и удовлетворены, и не удовлетворены.

Независимые друг от друга события. Два события не зависят друг от друга, если каждое из них полностью не зависит от факта наступления другого. Так, если происходит одно из событий, то это не меняет вероятность наступления другого. Например, рассмотрим следующую ситуацию: первое событие заклю­ чается в выражении работником удовлетворенности, а второе — в отдании покупателем предпочтения батончикам «Биг-Байт». Эти два события не связаны друг с другом, и вероятность наступления одного из них не влияет на вероят­ ность наступления второго. Таким образом, речь идет о независимых друг от друга событиях.

Знание соотношения между событиями позволяет нам определить вероят­ ность комбинации событий. Вероятность наступления нескольких событий оп­ ределяется с помощью формул, которые мы рассмотрим ниже.

2.2.1. Правило сложения

Если два события {X и Y) взаимно исключают друг друга, тогда вероят­ ность наступления того или другого определяется путем сложения индивиду­ альных значений вероятности. То есть В (событие А'или событие У) = В (собы­ тие X) + В (событие Y) или, в упрощенном виде:

В (А'или Y) = В {X) + B{Y).

• Определение. Вероятность наступления события X или Y рассчитывается как В (X U.7U Y) = В(Х) + B(Y), при условии, что события X и Y взаимно иск,7ючают друг друга. •

Пример 1

Если 25% покупателей предпочитают батончики «Биг-Байт», а 50% — «Труфл», тогда вероятность того, что покупатель предпочтет «Биг-Байт» или «Труфл», рассчитывается следующим образом.

' Имеем: В («Биг-Байт») = 25% = 0.25.

Аналогично: В («Труфл») = 50% = 0.50.

Следовательно, так как эти события взаимно исключают друг друга, то:

В(«Биг-Байт» или «Труфл») = В («Виг-Байт») + В («Труфл») = 0.25 + 0.5 =

0.75(или 75%).

Пример 2

При выборочной проверке качества 200 «домашних» кондитерских изделий компании «Даунбрукс» получены следуюшие результаты:

Аналогично, В (Приемлемое) = 40/200 = 0.2 и В (Брак) = 20/200 = 0.1. Все три категории качества взаимно исключают друг друга. Таким образом, чтобы, например, рассчитать вероятность получения изделий высшего и при­

емлемого качества, необходимо:

В (Высшее или Приемлемое) = В (Высшее) + В (Приемлемое) = 0.7 + 0.2 = 0.9 (или 90%).

Пример 3

Предыдуший пример можно применить к и^тлюстрации дополняющих друг друга событий. Например, рассмотрим вероятность «получения брака» или «непо­ лучения брака». Эти два события дополняют друг друга, так как одно или другое событие должно наступить. Кроме того, они взаимно исключают друг друга, так как не могут наступить одновременно: ведь невозможно одновременно получить изделие, которое и было бы бракованным и не было им! Таким образом, совокуп­ ная вероятность того, что получится брак и не получится брак, должна равняться 1 (100%). Это можно записать в следующем виде:

В(Брак или Не брак) = В (Брак) + В (Не брак) = 1. Следовательно, путем трансформации получаем:

В(Не брак) = 1 - В (Брак).

Возьмем значения из предыдущего примера: В (Брак) = 0.1. Следователь­ но, В (Не брак) = 1 — 0.1 = 0 . 9 (или 90%). Данный пример иллюстрирует другое правило, которое в общем виде можно записать следующим образом:

В (ие X) = \ - Р (Х).

То есть, если, например, вероятность получения изделий высшего каче­ ства равна 0.7, тогда вероятность получения изделий не высшего качества равна 1 - 0.7 = 0.3 (или 30%).

2.2.2. Правило умножения

Если два события не зависят друг от друга, тогда вероятность наступления обоих событий рассчитывается путем перемножения индивидуальных значений вероятности. То есть:

Т Определение: Для двух событий X и Y вероятность наступления и X и Y рассчитывается как В (X и Y) = В (X) х В (Y), при условии, что события X и Y не зависят друг от друга. •

Пример 1

Нам уже известно, что 25% покупателей предпочитают «Биг-Байт», а 60% работников удовлетворены новой организационной структурой. Данную инфор­ мацию можно обобщить следующим образом:

В(предпочтение «Биг-Байта») = 0.25;

В(удовлетворенный работник) = 0.6.

Так как эти два события не зависят друг от друга, то вероятность наступ­ ления обоих рассчитывается следующим образом:

В (предпочтение «Биг-Байта» и удовлетворенный работник) = В (предпоч­ тение «Биг-Байта») х В (удовлетворенный работник) = 0.25 х 0.6 = 0.15 (или 15%).

Пример 2

В компании «Даунбрукс» из общего числа работников 70% составляют мужчины, а 30% — женщины. Как уже отмечалось, 60% работников выразили удовлетворение по поводу организационных изменений. Сделав допущение, что между полом и настроениями нет взаимосвязи, вероятность того, что произ­ вольно выбранный работник окажется мужчиной, не довольным изменениями, мы рассчитываем следующим образом:

В (неудовлетворенный работник) = 1 — В (удовлетворенный работник) = 1 - 0.6 = 0.4.

А также: В (работник мужского пола) = 0.7 (70%).

Таким образом, В (Неудовлетворенный и Мужчина) = В (Неудовлетворен­ ный) X В (Мужчина) = 0.4 х 0.7 = 0.28 (или 28%).

Пример 3

В головную контору компании «Даунбрукс» регулярно поступают заказы на кондитерские изделия. Установлено, что за прошлый год 24% заказов пришлось на батончики «Биг-Байт» и что 30% заказов по стоимости превышали 5000 ф. ст. Очевидно, что взаимосвязи между стоимостью заказов и наличием в них батон­ чиков «Биг-Байт» нет. Чтобы оценить вероятность того, что следующий заказ будет вк^тючать батончики «Биг-Байт» и его стоимость превысит 5000 ф. ст., мы применим правило умножения, как это показано ниже.

2.2.3. Сложные события

Во многих примерах необходимо использовать комбинацию правил умно­ жения и сложения, которые мы описали в предыдущем разделе. Рассмотрим такие простейшие примеры.

Пример 1

Рассмотрим заказы, поступающие в «Даунбрукс»: 24% заказов включают батончики «Биг-Байт» и 20% заказов включают «Труфл». Приняв допущение, что между этими-изделиями нет взаимосвязи, давайте оценим вероятность того, что заказ будет содержать только одно наименование, а не оба. Другими слова­ ми, мы хотим оценить вероятность того, что заказ будет содержать «Биг-Байт», а не «Труфл», или же «Труфл», а не «Биг-Байт».

Вероятность того, что заказ будет содержать только одно из наименований (а не оба), рассчитывается следующим образом:

В (включено только одно наименование) = В («Биг-Байт» и не «Труфл» или не «Биг-Байт» и «Труфл»).

Согласно правилам, когда в сочетании событий есть союз «и», мы пе­ ремножаем значения вероятности (подразумевая, что они не зависят друг от друга); и когда в сочетании событий есть союз «или», мы складываем зна­ чения вероятности (при условии, что события взаимно исключают друг друга).

Таким образом, В (только одно наименование) = В («Биг-Байт») х В (не «Труфл») + В (не «Биг-Байт») х В («Труфл») = 0.24 х 0.8 + 0.76 х 0.2 = 0.192 + + 0.152 = 0.344 (или 34,4%).

Итак, свыше трети заказов, вероятно, будут содержать только одно из этих изделий.

Пример 2

Компания «Даунбрукс» использует различные методы оценки при подборе новых руководящих работников, в том числе тесты на математическую фамотность и логику речи. По прошлому опыту известно, что 60% кандидатов прохо­ дят тест на математическую грамотность и 80% кандидатов — тест на логику речи. Приняв допущение, что прохождение одного теста не влияет на результат прохождения второго теста, мы можем найти вероятность получения произ­ вольно выбранным кандидатом различных результатов. Например, давайте рас­ смотрим вероятность того, что такой кандидат: а) пройдет оба теста; б) прой­ дет только один тест; или в) не пройдет оба теста.

Мы имеем значения вероятности успеха при прохождении отдельных тес­ тов: В (сдал Математику) = 0.6, В (сдал Логику) = 0.8.

6 0 ГЛАВА 2

Таким образом, В (провалил Математику) = 0.4 и 5 (провалил Логику) =

0.2.

а) В (прохождение обоих тестов) = В (сдал Математику и сдал Логику) = В (сдал Математику) х В (сдал Логику) (поскольку эти два теста не зависят дру1 от друга) = 0.6 X 0.8 = 0.48 (или 48%).

Следовательно, 48% кандидатов, вероятно, пройдут оба теста.

б) В (прохождение только одного теста) = В (сдал Математику и провалил

Следовательно, 44% кандидатов, вероятно, пройдут только один из тестов. в) В (непрохождение обоих тестов) = В (провалил Математику и провалил Логику) = В (провалил Математику) х В (провалил Логику) = 0.4 х 0.2 = 0.08

(или 8%).

Следовательно, только 8% кандидатов не пройдут оба теста. Примечание. Три рассмотренные здесь вероятности являются единственно

возможными. Кандидат должен пройти оба, пройти один или провалить оба теста. Других вариантов нет. Это видно, если взглянуть на полученные значения. Их сумма равна 0.48 + 0.44 + 0.08 = 1 (100%).

2.3. Упражнения: базисная вероятность

1.(Е) По прошлым результатам известно, что около 20% изделий, произ­ веденных на данной линии, имеют дефекты. Если из производимых здесь изде­ лий произвольно выбрать два, то какова будет вероятность, что:

а) оба не имеют дефектов; б) оба имеют дефекты;

в) только одно имеет дефекты.

2.(Е) 30% управленцев-стажеров в клинике Св. Иосифа не прошли двух­ годичного обучения. Если два стажера приступят к обучению в один и тот же день, то какова вероятность, что:

а) оба стажера закончат курс обучения; б) только один стажер закончит курс обучения.

3. (1) Установлено, что 55% пациентов, поступающих в отделение скорой помощи клиники Св. Иосифа, являются лицами мужского пола. Более того, 10% от числа поступивших нуждаются в повторном обращении.

(i)Найдите вероятность того, что следующий поступивший в отделение пациент:

а) окажется женщиной; б) не потребует дальнейшего лечения;

в) окажется мужчиной и не потребует дальнейшего лечения; г) окажется женщиной и не потребует дальнейшего лечения.

(ii)Имеются два произвольно выбранных пациента из числа поступивших

вопределенный день.

Оцените вероятность того, что: а) они оба мужчины;

б) они оба требуют дополнительного лечения; в) только один пациент требует дополнительного лечения;

г) первый пациент требует лечения, а второй является женщиной; д) только один пациент — женщина.

2.4. Дерево вероятностей

Использование деревьев вероятностей может упростить определение слож­ ных вероятностей, связанных с несколькими взаимозависимыми событиями. Дерево вероятностей представляет собой фафическое отображение затронутых вероятностей. Далее на примерах мы продемонстрируем применение данного подхода.

Пример 1

Рассмотрим пациентов, поступающих в отделение скорой помощи клини­ ки Св. Иосифа. Установлено, что 80% пациентов отправляются домой в течение первых нескольких часов после медицинского обследования и оказания неболь­ шой помощи. Остальные 20% помещаются в один из корпусов (А и Б). 60% пациентов попадают в корпус А и 40% — в корпус Б. Ежедневно в корпусах проводят обходы два консультанта — г-н Хале и г-жа Элдер. Г-н Хале осмат­ ривает 70% пациентов корпуса А и только 10% пациентов корпуса Б. Г-жа Элдер консультирует всех остальных пациентов. Какова вероятность того, что пациент, поступивщий в отделение скорой помощи, окажется под присмотром г-на Халса? Эта сложная ситуация может быть отображена с помощью дерева вероятностей, показанного на рис. 2.1. Верщина дерева показывает прибытие пациента. Далее пациента либо отправляют домой, либо кладут в стационар, что показано двумя ветвями. Затем пациент поступает в один из корпусов, что видно на рисунке, где его и осматривает один из консультантов. Вероятности каждого события приведены на дереве вероятностей. Индивидуальные вероят­ ности можно перемножить, с тем чтобы получить вероятность попадания в крайнюю конечную точку любой из ветвей.

Прибытие

пациента

Принят в стационар

0.2

Корпус Б 0.4

Г-жа Элдер 0.9

Рис. 2.1. Дерево вероятностей

Например, вероятность того, что пациент будет направлен в корпус Б и окажется под присмотром г-жи Элдер, рассчитывается путем перемножения всех вероятностей данного направления дерева. Т. е. вероятность этого равна

6 2 ГЛАВА 2

0.2 X 0.4 X 0.9 = 0.072 (или 7.2%). Аналогично, вероятность того, что пациент, посгупивший в отделение скорой помощи, окажется под присмотром г-на Халса, определяется путем сложения вероятностей соответствующих ветвей дерева. В данном примере имеются две ветви, ведущие к г-ну Халсу. Таким образом, данная вероятность равна: (0.2 х 0.6 х 0.7) + (0.2 х 0.4 х 0.1) = 0.084 + 0.008 = = О 092.

Таким образом, 9.2% пациентов, поступающих в отделение, в конце концов встретятся с г-ном Халса. Оставляем вам возможность провести расчет вероятности того, что пациент поступит ко второму консультан­ ту, г-же Элдер.

2.5. Анализ решений

Анализ решений включает использование различных приемов, помога­ ющих руководителю выбрать наиболее приемлемые решения в данных об­ стоятельствах. Как уже отмечалось во введении к данной главе, приемы оценки вероятности могут использоваться руководителем при принятии ре­ шений. Имеется ряд практических приемов принятия решений, в которых задействованы вероятностные подходы. Такие приемы необходимы, так как во многих случаях при принятии решений отсутствует точная значимая информация. Наличие вероятностей обычно обусловливает рассмотрение ряда альтернативных решений. Руководитель должен принять решение на основа­ нии перечня альтернатив, что, возможно, затем выявит новый ряд альтернажв, требующих анализа.

Например, финансовый аналитик должен принять решение по вопросу инвестирования средств клиента. Первое решение может состоять в отборе ряда компаний из общего перечня объектов инвестирования. Здесь могут иметь место вероятности, связанные с возможностью извлечения прибыли в течение перво­ го года по каждой из рассматриваемых компаний. Закончив отбор компаний для вложений, необходимо для каждого случая определить сумму инвестиций. И снова могут иметь место вероятности в отношении того что касается эффектив­ ности вложений, например прибыльности и долговременной доходности. В ка­ честве одною из критериев принятия решения можно определить максимиза­ цию ожидаемой прибыли от инвестиций. Расчет ожидаемой стоимости будет показан в следующем разделе главы.

Однако при принятии окончательного решения могут возникнуть и дру­ гие критерии. При этом дополнительно возникает, например, необходимость учета фактора риска. Некоторые инвестиционные стратегии могут нести в себе существенный риск получения убытка. В то же время высокорискован­ ные вложения могут также содержать и вероятность получения значительно большей прибыли. Аналитик должен решить, идти ли на высокорискован­ ные инвестиции на основании существования вероятности извлечения боль­ шей прибыли, или же остановиться на малорискованном варианте и мень­ шей прибыли. Вероятно, высокорискованная стратегия максимизирует ожи­ даемую прибыль, однако окончательное решение может быть принято в пользу альтернативного малорискованного инвестиционного портфеля с более низкой доходностью.