Количественные методы анализа хозяйственной деятельности - Ричард Томас

пределы данного пособия. Однако следует сказать, что эти критерии осно­ вываются на учете доверительных пределов для значений г. Например, мож­ но показать, что при условии отсутствия корреляции между двумя перемен­ ными 95%-ные доверительные пределы для значения г, где п = 10, состав­ ляют от —0.632 до +0.632. Следовательно, если две переменные не соотно­ сятся вообще, то значение г, вероятно, лежит в указанном диапазоне. Та­ ким образом, для того чтобы указать на «значимость» корреляции между двумя переменными, значение г должно оказаться вне этого диапазона, т. е. быть больше +0.632 или меньше —0.632.

В таблице на рис. 3.7 приведены значимые значения г для п значений и 95%- ных доверительных пределов. Обратите внимание, что значения г могут быть как положительными, так и отрицательными. Из этой таблицы видно, что по мере увеличения объема выборки (л), критическое значение г уменьшается. Так, на­ пример, для я = 3 значение г должно быть минимум 0.997, чтобы мы могли сде­ лать вывод о наличии корреляции между двумя переменными. А при объеме вы­

Рис. 3.7. Значимые значения линейного коэффициента корреляции

Следует отметить, что значимые значения, приведенные на рис. 3.7, мож­ но использовать при анализе как коэффициента корреляции производного момента, так и коэффициента ранговой корреляции, который мы рассматрива^ти ранее.

• Определение. Если значение коэффициента корреляции (г) оказывается зна­ чимым, то это свидетельствует о вероятности наличия некой степени линейной зависимости между двумя рассматриваемыми наборами данных. А

Пример 1

Для фупиы из двадцати кандидатов коэффициент корреляции между дву­ мя наборами результатов тестирования составляет +0.5. Начальник отдела кад­ ров утверждает, что эти данные указывают на то, что два теста не находятся во взаимосвязи, так как коэффициент корреляции не близок к 1. Что вы скажете по этому поводу?

На первый взгляд, значение г = 0.5, как кажется, не указывает на наличие корреляции. Однако если мы посмотрим на значимые значения, приведенные на рис. 3.7, то скажем, что при л = 20 любое значение г, равное или большее 0.44, является значимым. Таким образом, коэффициент корреляции, равный 0.5, указывает на наличие корреляции. Следовательно, есть вероятность на-ш- чия зависимости между двумя результатами тестирования, иначе говоря, кан­ дидат, который хорошо проявит себя в одном из тестов, может с большей вероятностью проявить себя с лучшей стороны и в друго.м тесте.

1 1 4 ГЛАВА 3

Пример 2

Проводится анализ эффективности затрат на рекламу с точки зрения их воздействия на объем выручки от реализации: в течение последних 10 ме­ сяцев фиксировались объемы выручки, а также соответствующие расходы на рекламу. Коэффициент корреляции производною момента полученных дан­ ных оказался равен 0.6. Указывает ли это на то, что две переменные нахо­ дятся во взаимосвязи?

В этой ситуации мы должны установить, является ли значение г = 0.6, полу­ ченное при объеме выборки п = 10, значимым. Согласно таблице на рис. 3.7, зна­ чение г для этого объема выборки составляет 0.632. Следовательно, значение г (=0.6) не считается значимым при условии 95%-ных доверительных пределов. Та­ ким образом, данная величина не является убедительным доказательством того, что имеется зависимость между расходами на рекламу и месячным объемом вы­ ручки от реализации. Однако значение г столь близко к «значимому», что, вероят­ но, между данными показателями все же существует зависимость. Необходим сбор дополнительной информации, как-то о расходах на рекламу и объеме выручки от реализации за более продолжительный период времени.

Следует отметить, что в этом примере величина корреляции, возможно, не самый лучший критерий оценки. На подсознательном уровне существует вероятная взаимосвязь между расходами на рекламу и выручкой от реализации. Если такой взаимосвязи нет, то тогда можно, в какой-то мере, предположить, что компания тратит деньги на рекламу впустую. Однако зависимость может оказаться несколько более сложной, чем мы можем показать на этом простом примере анализа. Так, затраты на рекламу в какой-то конкретный месяц могут не вызвать увеличения объема реализации в течение нескольких последующих месяцев. Следовательно, между затратами на рекламу и соответствующим изме­ нением объема продаж может возникнуть временной разрыв. Продолжитель­ ность разрыва зависит от продвигаемого товара.

Например, в случае с такими товарами, как газеты и сигареты, реклама может оказать немедленное воздействие. И наоборот, на продвижение таких товаров, как автомобили, стиральные машины, телевизоры и микрокалькуля­ торы, реклама может возыметь действие по прошествии более продолжитель­ ного периода времени. Таким образом, при исследовании корреляции между этими двумя переменными необходимо, возможно, учесть поправку на «вре­ менной разрыв». Другими словами, нам стоило бы исследовать корреляцию между .месячными расходами на рекламу и соответствующим объемом реализа­ ции со сдвигом в один или два месяца. Таким способом мы смогли бы показать реальную эффективность рекламы, а также определить вероятный разрыв меж­ ду расходами на рекламу и объемами выручки от реализации.

3.7. Коэффициент детерминации

Коэффициент детерминации представляет собой альтернативный показа­ тель степени зависимости между двумя переменными. Данное значение вычис­ ляется путем возведения в квадрат коэффициента корреляции (г).

Таким образом, Коэффициент корреляции = /^.

Коэффициент детерминации часто более предпочтителен, чем коэффициент корреляции, так как его можно использовать для количественного определения

характеристики, связывающей две переменные. Это значение дает пропорцию об­ щего изменения одной переменной {у), которую можно объяснить изменением второй переменной (х). Эта величина часто выражена в процентах.

Рассмотрим, к примеру, ситуацию, когда коэффициент корреляции между объемом выручки от реализации и расходами на рекламу составляет 0.8. Таким образом, г = 0.8, а коэффициент детерминации /^ = 0.82^ = 0.64 (= 64%). Следовательно, это показывает, что 64% изменений в объеме реализации мож­ но объяснить изменениями в расходах на рекламу.

Такой способ описания зависимости между двумя переменными подводит нас к рассмотрению причины и следствия. Из двух анализируемых переменных одна является причиной (х), а другая — следствием {у). Например, надежды возлагаются на то, что реклама вызовет изменение объема реализации. Таким образом, мы можем сказать, что расходы на рекламу являются «причиной», а объем реализации — «следствием». Рассмотрим вероятную ситуацию, при кото­ рой коэффициент корреляции между двумя переменными составляет +1.

Итак, г= +1, а коэффициент детерминации г^ = 1. Это подразумевает, что 100% изменений в объеме реализации вызваны изменениями в расходах на рекламу. В таком случае изменения в расходах на рекламу автоматически вызы­ вают пропорциональные изменения в объемах реализации, что для любого руководителя службы маркетинга ситуация идеальная. На практике, конечно, крайне маловероятно, что степень корреляции будет столь идеальной. Даже когда зависимость между двумя переменными значима, требуется учет множе­ ства других факторов. Так, для примеров такого рода вполне обычным значени­ ем коэффициента детерминации будет показатель в диапазоне от 0.1 до 0.3. Например, коэффициент детерминации, равный 0.2 (20%), показывает, что 20% изменений в объеме реализации вызван изменениями в расходах на рекла­ му. Во многих хозяйственных ситуациях 20%-ный результат служит более чем адекватным обоснованием необходимости продолжать рекламирование.

При истолковании значений коэффициента корреляции и коэффициента детерминации следует проявлять осторожность. Существует вероятность получе­ ния очень высоких значений коэффициента корреляции при отсутствии какойлибо прямой зависимости между двумя рассматриваемыми переменными. Рас­ смотрим, например, следующую ситуацию, когда мы имеем для анализа со­ бранные за 10 лет данные по стоимости экспорта из Великобритании и средней цене стиральных машин во Франции:

Данные переменные были отобраны ввиду фактического отсутствия пря­ мой зависимости между ними. Итак, мы можем вычислить коэффициент кор­ реляции между этими двумя переменными при х — стоимости экспорта из Великобритании и у — цене стиральных машин во Франции. Коэффициент корреляции составляет г = 0.9635. Таким образом, коэффициент детерминации /^ = 0.9635^ = 0.928 = 92.8%.

Такой коэффициент детерминации, видимо, указывает на то, что 92.8% изменений в цене стиральных машин во Франции вызваны колебаниями в стоимости экспорта из Великобритании. Такая зависимость называется ложной,

так как прямая зависимость между переменными, очевидно, незначительна. Коэффициент корреляции оказывается значимым в этом случае по той причи­ не, что обе переменные связаны с третьей переменной, т. е. с временным периодом. Такое следствие часто встречается при анализе экономических дан­ ных, взятых за длительный период времени, поскольку важным фактором здесь может стать инфляция. Чтобы установить наличие истинной зависимости между двумя переменными, необходимо устранить элемент инфляции при рассмотре­ нии этих переменных и заново вычислить корреляцию. Вышеприведенный при­ мер представляется несколько более сложным, так как уровень инфляции в разных странах может быть неодинаков. Однако в целом между двумя значени­ ями уровня инфляции вероятно существование зависимости, что и может дать ложную корреляцию между различными финансовыми и экономическими по­ казателями, взятыми за продолжительный период времени.

Т Определение. Коэффициент детерминации, вычиагяемый путем возведе квадрат значения коэффициента корреляции, показывает объем изменения менной (у), относимый на счет изменений в значении другой переменной (х)

3.8. Упражнения: ранговая корреляция и значимость

1. (I) в таблице приведены рейтинговые номера, присвоенные по итогам собеседования 10 принятым на работу работникам. В таблице также приведены рейтинговые номера этих же работников, присвоенные им их непосредствен­ ными руководителями, которым было предписано дать относительную оценку показателей их работы по итогам закончившегося финансового года

(i)С помощью Спирмановского коэффициента ранговой корреляции оп­ редели ге степень корреляции между двумя наборами рейтинговых номеров.

(ii)Будет ли эта корреляция значимой при 95%-ных доверительных преде­ лах? Каковы ваши выводы по итогам анализа относительно пригодности собе­ седования в процессе отбора?

2.(I) Проведено сравнение прогнозов четырех финансовых аналитиков отно­ сительно изменений на фондовом рынке с фактическими колебаниями. Для каж­ дого случая произведено вычисление коэффициента корреляции производного момента. Аналитиков попросили оценить изменения некоторых индикаторов фон­ дового рынка: индекса Доу-Джонса', индекса Никкей-Доу и индекса ФТ100. В таб­ лице приведены значения коэффициента корреляции между прогнозами аналити­ ков и фактическими значениями за период в 20 недель.

Корреляция между прогнозами аналитиков и фактическими значениями

' Об индексе Доу-Джонса и других деловых индексах см.: Словарь-справочник по междуна­ родному учету, который готовится к печати в 1998 г. в издательстве ДИС.

3.10. Методы регрессии

Методы рефессии используются для определения зависимости между дву­ мя или более переменными. Во многих случаях такую зависимость целесообраз­ но представить в математическом виде. Например, между расходами на рекламу

(х) или объемом выручки (у) вероятно наличие зависимости. В таком случае нам бы хотелось выразить значение у через х. Например, такое простое выраже­ ние, как у - Юх, говорит нам, что объем продаж в десять раз больше суммы затрат на рекламу. На практике, понятно, зависимость не выглядит столь про­ сто, как в этом примере. Однако процесс нахождения уравнения, связывающе­ го две переменные х и у, важен и часто осуществим.

Мы уже рассмотрели в общих чертах использование графика разброса для иллюстрации зависимости между двумя переменными х и у: мы наносим на [•рафик точки, прйгс^авляющие пары значений двух переменных. Прямая линия «наилучшего соответствия*, проведенная через эти точки, называется линией рефессии. Уравнение"линии рефессии имеет следующий вид:

у = а + Ьх.

Это — прямолинейное уравнение, взаимосвязывающее хи у. Значения кон­ стант а и b могут быть рассчитаны с помощью следующей формулы:

Путем преобразования уравнения рефессии мы можем на основе средних значений для х и у вычислить значение а:

а = у-Ьх .

Значения а и b затем подставляются в общее уравнение для определения зависимости между хну. Например, а равно \0, а b — 20, тогда уравнение рефессии выглядит следующим образом: у = 10 +20х

Далее это уравнение можно использовать для вычисления у для заданного значения х. Например, если х = 5, то подстановка этого значения в уравнение рефессии дает

у = W + 20.5 = 10 + 100 = ПО.

Таким образом, при х = 5 у = ПО. Такие вычисления в ряде случаев фор­ мируют основу для проведения прогнозирования.

Обратите внимание, что уравнение у = а + Ьх используется для нахождения ожидаемого значения у для заданных значений х. Это следует учитывать при рещении практических задач, когда не ясно, какая из переменных есть х, а какая — у. Переменная, представленная х, — это известное значение, а пере­ менную у необходимо вычислять. Возьмем в качестве примера зависимость между расходами на рекламу и объемом продаж. В этом случае, скорее всего, задача будет состоять в оценке объема продаж при задании значений расходов на рекламу. То есть расходы на рекламу — величина известная (х), а неизвестная переменная (у) — это объем продаж.

Т Определение. Линия регрессии — это линия «наилучшего соответствия», проходящая через точки графика разброса. Уравнение линии регрессии имеет вид у = а + Ьх, где а и b могут быть рассчитаны по формуле, приведенной выше. •

СООТНОШЕНИЯ 119

Пример 1

Рассмотрим значения хну, приведенные в следующей таблице:

Если у вас достаточно хорошая математическая подготовка, то вы сразу скажете, что между двумя переменными существует идеальная зависимость. В каждом случае значение у можно получить путем удвоения значения х и прибав­ ления 1. Фактически уравнение, связывающее х и у, имеет вид:

у= I + 2х.

А теперь давайте с помощью методов регрессии проиллюстрируем, как эту зависимость установить по правилам.

Прежде всего, нанесем значения х и у на фафик, как это показано на рис. 3.9. Из рисунка видно, все точки лежат на прямой линии.

Обычно, зависимость между двумя переменными не будет столь очевид­ ной, и сначала, как правило, потребуется установить степень корреляции. Так,

Рис. 3 . 9 . График зависимости х от у

По таблице находим суммы:

Следовательно, г = 1, указывая на идеальную зависимость между двумя переменными

Итак, мы можем теперь определить зависимость между переменными xi\ у следующим образом

Сравнение прямой линии можно записать как у = а + Ьх, где а w b вычис­ ляются по следующей формуле

^__ Ъ^-пху (\х^-пхЛ' а также а = у-Ьх .

вычисления значений у при заданных значениях х. Например, если мы хотим найти значение у при х = 6, то, подставив заданное значение в уравнение регрессии, получаем

> ' = 1 + 2 - 6 = 1 + 1 2 = 1 3

Следовательно, по уравнению рефессии при х = 6у= 13. Аналогичным обра­ зом можно получить другие значения у путем подстановки заданных значений х

Пример 2

Рассмотрим данные по объему продаж компания «Петлокс» за 10 лет (Циф­ ры приведены в млн. упаковок Barley Knsps.):

Вы уже видели эти данные раньше: они представлены фафиком разброса на рис. 3.3. График, похоже, указывает на наличие линейной зависимости. С помощью коэффициента корреляции мы можем определить степень корреля­ ции между годом и объемом продаж. В при.мерах такого рода целесообразно упростить вычисления, придав каждому голу свой код. Так, 1988-й можно счи­ тать годом 1, 1989-й — 2 и т д. Итак, рассмотрим следующие данные:

Коэффициент корреляции между этими переменными можно вычислить так, как это показано в таблице ниже.

По таблице получаем суммы:

Итак, получаем средние для значений х и у:

Вычисляем степень корреляции с помощью коэффициента корреляции: Значение

г =

^(Zx^-"x^)(ly^-ny^) J(385-I0(5.5)^](l0124-10(31)^