Количественные методы анализа хозяйственной деятельности - Ричард Томас

СООТНОШЕНИЯ 1 2 3

2. (I) в одном из упражнений раздела 3.4 было необходимо вычислить коэффициент корреляции для следующих данных:

Определите уравнение регрессии по этим данным для оценки месячно­ го объема продаж товара в зависимости от заданных расходов на рекламу. С помощью этого уравнения оцените объем продаж на сентябрь при затратах компании на рекламу в сумме 300 000 долл. США. Является ли полученная оценка приемлемой? Прокомментируйте степень корреляции между этими двумя переменными.

3. (I) Лайза Грегори, начальник отдела кадров «КТК», запросила провести анализ текущей практики компании по отбору персонала. Существует мнение, что один из оценочных тестов, используемых в процессе отбора, является непригод­ ным для этих целей. В таблице ниже приведены результаты по данному тесту деся­ ти работников, отобранных за последние пять лет. Под ними приведены оценки их трудовой деятельности со стороны их непосредственных руководителей.

(i)Найдите степень корреляции между результатами тестирования и оцен­ ками показателей работы.

(ii)С помощью метода рефессии спрогнозируйте оценку деятельности работника, который получил бы 14 баллов по результатам тестирования. Про­ комментируйте надежность такой оценки.

3.12. Нелинейная зависимость

Во многих практических ситуациях зависимость между двумя переменными может быть нелинейной. Для проведения последующего анализа такой зависи­ мости имеется ряд методов. На последующих примерах мы опишем два подхода к анализу подобных ситуаций.

Пример 1

Пример, ранее представленный на рис. 3.4, показывает, что объемы продаж отображены кривой. Данная ситуация типична при анализе экономических дан-

ных, которые подвержены воздействию инфляции. Эти данные могут быть преоб­ разованы в линейную зависимость путем логарифмического преобразования. Рас­ смотрим пример на рис. 3.4, где представлены следующие данные:

«Известная» переменная (л:) — это год, а «неизвестная» переменная — объем продаж. Итак, с помощью логарифмов значений объема продаж получим значения у. Присвоив каждому году свой код: 1, 2, 3, ... и получив логарифмы значений объема продаж, составим следующую таблицу:

График на рис. 3.10 показывает зависимость между годом (х) и логарифмом объема продаж (^у). Степень корреляции рассчитывается обычным способом при

Вычисляем средние значений х и у:

п10

Степень корреляции вычисляем с помощью коэффициента корреляции:

Рис. 3.10. Анализ объема продаж

Значение г = 0.986 указывает на большую значимость корреляции между двумя переменными х и у. Следовательно, две переменные могут быть соотне­ сены в прямолинейном уравнении.

Это уравнение можно записать в виде у =^ а + Ьх, где а и b вычисляются по формулам

уравнение можно использовать для оценки значения у для заданного значения

Путем обратного преобразования с помощью антилогарифма получаем оценку объема продаж в 84.9. То есть объем продаж в 1998 г. оценива­ ется в сумме 85 млн. долл. США при условии сохранения прямолинейной зависимости.

чение ) может быть определено рядом переменных х,, лгз, Xj, В таких случаях уравнение множественной рефессии может использоваться в следующем виде

у = bo + й|Х| + ЬуХ2 + byX-i +

Значения коэффициентов рефессии AQ, /),, b-^, могут быть получены путем с южных математических вычислений, которые не являются предметом данною пособия В целом, такой анализ можно провести с помощью имеющихся стандар1ных сгагистических компьютерных программ

Пример 1

Рассмотрим месячные объемы продаж продукта компании «Петлокс» Фак­ тический объем продаж за месяц может зависеть от ряда факторов, таких, как цена за единицу, расходы на рек,1ам> в предыдущем месяце и количество ра­

сии уже несет в себе определенную ценную информацию Так, анализ коэффи­ циентов трех переменных указывает в определенной степени на относительную важность каждой переменной уравнения Как это видится при анализе имею-

щихся данных, цена за единицу (л-,) является наиболее важной при прогнози­ ровании возможного объема продаж за какой-либо месяц в будущем. На это указывает относительно высокий коэффициент данной переменной. И наобо­ рот, коэффициент X, очень мал, указывая на то, что количество работников, занятых сбытом, оказывает незначительное влияние на текущий объем продаж. Ясно, что все эти оценки следует рассматривать с осторожностью. Так, полу­ ченная модель может быть приемлемо точна, при условии что независимые переменные х,, х^ и дг, лежат в заданных пределах; вне этих пределов модель может оказаться абсолютно ненадежной. Например, в нашем случае диапазоны трех переменных таковы: х,(0.90 — 1.20), x-^ib — 10), jc^(18 — 30). Поэтому модел окажется неприемлемой при прогнозировании объемов продаж при заданной цене в 2.00 долл. или наличии 50 работников, занятых сбытом.

3.14. Краткое содержание главы

В главе рассмотрен анализ зависимости между двумя или более наборами зна­ чений. Графики разброса можно использовать для иллюстрации любой связи меж­ ду двумя переменными. Однако результаты, полученные из таких фафиков, суще­ ственно субъективны. Для последующего и углубленного анализа зависимости не­ обходимо использовать объективный показатель. Одним из таких показателей яв­ ляется линейный коэффициент корреляции, который оценивает близость соотно­ шения двух переменных. Этот коэффициент, обозначаемый /•, измеряет степень корреляции, или линейной зависимости, между двумя переменными. Значение коэффициента корреляции лежит в пределах от —1 до +1. Значения г, близкие к + 1 или —1, указывают на наличие сильной зависимости между двумя переменны­ ми. И наоборот, значения, близкие к нулю, показывают, что зависимость мала. Фактические значения линейного коэффициента корреляции, которые указыва­ ют на наличие значимой корреляции, зависят от объема выборки. Так, коэффици­ ент корреляции /•= 0.8 при выборке из 10 пар значений менее значим, чем линей­ ный коэффициент корреляции, равный г = 0.7, при выборке из 100 значений. Значимость коэффициента можно подтвердить с помощью доверительных преде­ лов. Коэффициент детерминации, вычисляемый путем возведения в квадрат зна­ чения коэффициента корреляции, также можно использовать для определения зависимости между переменными.

В определенных обстоятельствах можно использовать коэффициент ранго­ вой корреляции в качестве альтернативного показателя оценки зависимости между двумя наборами значений. Так, часто трудно получить точные показатели некоторых значений, и поэтому единственный надежный .метод состоит в рас­ становке переменных по порядку, иначе говоря — в ранжировании значений. Коэффициент корреляции ранжированных значений называется коэффициен­ том ранговой корреляции, и он вычисляется по упрощенной формуле, которая приведена в этой главе. Значимая корреляция между двумя переменными под­ разумевает наличие линейной зависимости между ними. Методы рефессии можно использовать для определения уравнения «наилучшей» прямой линии, линии регрессии. Уравнение регрессии записывается в виде у = а л- Ъх. Это уравнение можно использовать для оценки значения у при заданном значении х. Так, например, объем выручки от реализации можно рассчитать исходя из заданной суммы расходов на рекламу. Нелинейная зависимость между переменными дол­ жна быть преобразована в линейную, и только потом следует проводить базо­ вый анализ регрессии.

СООТНОШЕНИЯ 129

с помощью множественной регрессии можно рассматривать более сложные уравнения, где неизвестную переменную у рассчитывают на основе ряда незави­ симых переменных х,, Xj, Xj, ... Методы корреляции и рефессии лежат в основе ряда методов оценки и прогнозирования, используемых в бизнесе и экономике.

3.15. Дополнительные упражнения

1. (Е) В таблице указано количество машин, которые «КТК» имеет в каж­ дом из своих шести региональных отделений. Ниже показан среднемесячный доход отделений в 1997 г.

Отделение

(i) Вычислите коэффициент корреляции между количеством машин и месяч­ ным доходом отделений «КТК». Прокомментируйте значимость этого значения.

(ii) Определите уравнение регрессии, соотносящее эти две переменные, и с его помощью оцените среднемесячный доход предлагаемого к открытию седь­ мого отделения с парком из 20 машин. Прокомментируйте пригодность данной оценки. Какие дополнительные факторы могут влиять на точность и надежность такого рода прогнозов?

2. (1) Во время недавних переговоров между работниками и руководством представители профсоюза пожаловались на слабость управления, выражающу­ юся в потерях времени из-за нехватки материалов и выхода оборудования из строя. В настоящее время в компании действует система оплаты труда, согласно которой до 25% заработной платы работника формируется за счет дополнитель­ ных начислений по результатам производительности труда. Участники перего­ воров со стороны профсоюза сделали упор на то, что работники теряют в заработной плате не по своей вине. Для подтверждения этого они представили данные по средним суммам начислений за производительность труда группе из

(i) Вычислите коэффициент корреляции для этого набора данных с тем, чтобы установить наличие зависимости между начислениями за производитель­ ность труда и процентом потерь производственного времени.

(ii)Является ли полученное значение коэффициента корреляции значи­ мым? Прокомментируйте результаты и обсудите ответ руководства на основа­ нии этих данных.

(iii)Можно ли эти данные использовать для определения среднего размера начислений, полученных работниками по результатам труда за любую данную неделю, в течение которой были отмечены 6%-ные временные потери? Рассчи­ тайте это значение с помощью метода регрессии и npoKOMMCFiTHpyftTe его на­ дежность.

3. (I) На крупном промышленном предприятии при проведении курса тех­ нической подготовки, предназначенного для всех принятых работников рабо­ чих специальностей, было установлено, что имеется зависимость между возра­ стом работника и временем, необходимым для освоения определенных навыков

иумений. В таблице приведен возраст восьми работников, выбранных произ­ вольно, а также время, необходимое для выработки у них навыков в опреде­ ленной области.

Работн!ик

(i)С помощью метода регрессии определите продолжительность подготов­ ки, необходимую для нового работника в возрасте 30 лет.

(ii)Определите коэффициент корреляции и прокомментируйте точность ва­ шей оценки в том, что касается части (1). Какие другие факторы могут повлиять на продолжительность подготовки, необходимой для каждого работника?

4. (I) В таблице приведены объемы продаж компании за период в 10 лет'

Год 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997

Объем продаж (млн. долл. США): 20 18 15 19 26 24 30 28 33 37

(i)Нарисуйте график разброса по этим данным и проведите «наилучшую» прямую линию.

(ii)С помощью соответствующего метода получите уравнение линии рефессии для объема продаж в зависимости от года. На основании этого уравнения спрог­ нозируйте объем продаж компании на 1998 г. Прокомментируйте вероятную точ­ ность этой оценки. Сравните это значение со значением, полученным по линии «наилучшего соответствия», проведенной при выполнении задания (i), и проком­ ментируйте любое полученное расхождение.

5. (1) Начальник отдела сбыта электронной компании, расположенной в Мельбурне, проанализировал показатели работы своих подчиненных. Он установил, что имеется некая зависимость между общим объемом продаж и количеством личных визитов каждого торгового представителя к к^тиентам. В таблице приведены эти значения для шести торговых представителей за период в один месяц:

(i)Определите степень корреляции между эти.ми двумя переменными:

(ii)Начальник отдела кадров использовал эту информацию, чтобы призвать своих сотрудников к увеличению числа личных контактов, так как, по ею мне­ нию, это приведет к увеличению объема продаж. Прокомментируйте данное ут­ верждение, выделите другие факторы, которые могли бы иметь значение.

6.(D) Предполагается, что зависимость между месячными затратами на

рекламу и соответствующими объема.ми продаж имеет вид у = а + bsx ^ где 1С. — расходы на рекла.му, г. у — объем продаж. Рассмотрите следующую табли­ цу, в которой приведены данные по объему продаж и затратам на рекламу за

(i)Нанесите эти значения на график разброса. Объясните, исходя из по­ лученного графика, является ли эта зависимость линейной или нелинейной.

(ii)Вычислите степень корреляции между х и >' и прокомментируйте эту зависимость.

(iii)Определите уравнение рефессии у от показателя х и с его помощью оцените объем продаж на любой данный месяц при условии, что затраты на рекламу составят 2000 ф. ст.

(iv)Прокомментируйте значение, полученное в части (Ш) и поясните причины, по которым такой прогноз может быть неточен.

7.(D) Многие работники компании «Петлокс» выражают серьезное недо­ вольство недавно введенной системой аттестации по итогам года. Один из до­ водов состоит в том, что аттестация работника на основании мнения двух менеджеров может быть крайне субъективной. Кроме того, аттестация имеет большое значение, так как по ее результатам принимается решение о преми­ ровании работника по итогам года. Существует мнение, что две оценки менед­ жеров мало согласуются между собой. Начальник отдела кадров компании «Пет-

локс» поставил задачу провести исследование данной проблемы. Для установле­ ния зависимости между оценками разных менеджеров двух из них попросили дать независимую оценку деятельности 12 сотрудников своего отдела. Менедже­ ры, г-жа Тантон и г-н Райт, оценивали работников по шкале от 1 до 20, где «1» соответствует очень плохим показателям, а «20» указывает на отличные показатели. Результаты приведены в таблице ниже:

(i)С помощью коэффициента ранговой корреляции установите зависи­ мость между двумя наборами оценок. (Обратите внимание, что приведенные значения — это не рейтинговые номера, а фактические показатели оценки деятельности.)

(ii)Прокомментируйте значимость коэффициента ранговой корреляции, а также зависимость на основании оценок двух менеджеров. Можно ли по этой информации сделать вывод о том, что оценки менеджеров являются надежным индикатором показателей деятельности работников?

(iii)Дальнейший анализ можно провести с помощью линейного коэффи­ циента корреляции. Установите зависимость между двумя наборами оценок. Дает ли это какую-нибудь дополнительную информацию? Приведите свои доводы относительно того, почему в примере такого рода этот показатель может ока­ заться лучше или хуже, чем коэффициент ранговой корреляции.