Количественные методы анализа хозяйственной деятельности - Ричард Томас

Глава 4

ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА

СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ:

>Простой процент

>Сложный процент

>Ставка процента в годовом исчислении

>Чистая дисконтированная стоимость

>А.мортизация

>Аннуитет и фонд погашения

>Оценка инвестиций

ЦЕЛИ:

>научиться использовать различные методы вычисления суммы процен­ тов к уплате

>уяснить применение расчетов процентной ставки при амортизации и дисконтировании

>научиться использовать приемы оценки и сравнения инвестиционных предложений на основании значений чистой дисконтированной сто­ имости и внутренней нормы рентабельности

>научиться вычислять стоимость вложений, таких, как аннуитет и фонд погашения

Введение

Использование финансовой информации часто имеет первостепенное зна­ чение при принятии хозяйственных решений. В этой главе рассматривается ряд методов анализа финансовых данных и, в частности, стоимость денег во време­ ни. Это неизбежно затрагивает рассмотрение понятия «процент» и того, как изменения процентных ставок влияют на принятие соответствующих хозяй­ ственных решений. Эти решения распространяются на такие широкие области, как капиталовложения, ссуды и займы, и учитывают такие факторы, как амор­ тизация, инфляция и налоговые скидки.

На последующих конкретных примерах мы покажем сферу применения финансовой математики.

Компания «Торнберри Бэйкириз» основана в конце 50-х годов нашего века Первоначально компания обосновалась в центре Лос-Анджелеса и занималась выпечкой хлебобулочных и кондитерских изделий для местного потребления В 60-е юды отмечался быстрый рост объемов продаж изделий компании, и к 1975 г нгиюБын оборот превысил 300 млн долл. США Компания и в да^чьнейшем постепенно наращивала объемы производства, и в 1995 г. оборот составил 1 3 млрд долл США Компания дополнительно развернула крупные производ­ ства по веси территории США и Канады, в том числе в Окленде, Новом Орлеане, Ванкувере и Монреале.

Ныне используемое самое современное и высокотехнолошчное производ­ ственное оборудование уже ничем не напоминает то, с чем компания скромно начинала свою деятельность В компании считают, что вложения в такое обору­ дование имеют первосюненное значение для того, чюбы обеспечить предложе­ ние высококачественных изделии по конкурентной WIIQ Леонард Килби, ди­ ректор по производству компании «Торнберри», ошечает за принятие решении по вопросам приобретения наиболее приемлемого оборудования и другой тех­ ники При принятии таких решении необходимо учитывать качество предлага­ емых изле.тии, розничную цену, а также условия погашения кредитов. Так, в последнее время решения по большей части склонялись в пользу лизинга, а не приобретения Использование основных методов определения стоимости денет во времени (с учетом амортизации и чистой дисконтированной стоимости) лежит в основе формирования оптимальной стратегии компании

Так, недавно компания внедрила систему по предоставлению автомобилей в пользование руководителей высшего и среднего звена На первом этапе ко.м- панпя приобрела несколько автомобилей для своих сотрудников Однако затем с помощью методов финансовой математики бьию просчитано, что наиболее эффективно с точки зрения затрат брать машины в аренду с последующим правом «o6paiHoio выкупа» работниками, и это позволило компании увеличип; парк машин, предназначенных для управленцев.

Группа «Паркер и Джеймсон» базируется в Великобритании и имеет в своем составе подразделение аналитиков по хозяйственным и финансовым вопросам Эти аналитики предлагают разнообразные услуги частным лицам и корпоративным клиентам. Компания с местом нахождения в Лондоне дает консулыации и оказывает помощь по ряду вопросов, например консультации по вопросам инвестиций.

Компания предлагает проведение оценки инвестиций и, при необходимо­ сти, может управлять инвестиционным портфелем от имени клиента.

Предла1аются консультации по вопросам кредитования и по вопросам на­ логовых льют

В составе компании имеется группа специалистов, консультирующих по вопросам капитальных ссуд и ипотеки.

Коисулыации но вопросам ссуд, займов и имвесшции ориентированы на каждою клиента в отдельности, в швисимости от ею статуса как налоюплательишка и имеющихся льгот по налогообложению

Рекомендации по таким вопросам, как прибыль на инвестицию или сто­ имость кредитных ресурсов, подразумеваю! использование финансово-матема­ тических методов, например чистой дисконтированной стоимости, внутренней нормы рентабельности, дисконтирования и амортизации Эти понятия и будут рассмотрены в последующих разделах этой главы

4 . 1 . Простой процент

Рассмотрим ситуацию, когда исходная сумма денег помещается на сбере1агетып>1и счет под фиксированный процент При этом процент выплачивается непосредственно инвестору, а не прибавляется к исходной сумме вложения Это пример варианта размещения денежных средств под простои процент Так, ести мы вложим 200 ф ст под 5% годовых, то в конце каждою года будем получать процентный доход в размере 5% от первоначальной суммы вложения Следовательно, ежегодно мы будем получать 5% от 200 ф ст , при условии, что денежные средства не изымаются по окончании этого срока. То есть в конце кaжJгoгo года мы будем получать по 10 ф ст

С этим простым примером связано несколько вгячислений, и приводимая нггже формула BKjrro4aer в себя несколько составляющих (Она приводится ис­ ключительно в демонстрационных целях )

Пусть Р — основная сумма, или сумма вложения, и г — процентная став­ ка, ныражеггггая в процентах Тогда процентный доход (/), гголучаемыи в конце каж/гого ггериода, вг>гчисляется по фopмyJгe

/ Р х - - 100

В более общем виде процентный доход, получаемый за п периодов, вычисгяется по формуле

/ = Гх

100

И наконец, сумма денежных средств в распоряжении иггвестора по окон­ чании п периодов складывается из суммы процентного дохода и суммы перво­ начального вложения Это представлено следующей формулой, где Л обозначает сумму денежных средств в распоряжении инвестора:

100

Эти формулы в равной степени пригодггы для вычисления процента к уплате за пользование заемными средствами с фиксированной суммой по став­ ке простого процента На последующих примерах мы рассмотрим вычисление простого процента по этим формулам

1 3 6 ГЛАВА 4

Пример 1

Частное лицо помешает 800 ф. ст. на депозит в банке по ставке простого процента из расчета 4% годовых. Вычислите, какую сумму инвестор будет иметь на счете через два года. В данном примере, исходя из стандартной формулы, мы имеем:

Р ~ первоначальное вложение, так называемая «основная сумма», — 800 ф. ст.;

Таким образом, за два года инвестор получит 64 ф. ст. Поэтому через два года на счете инвестора будет 864 ф. ст.

Пример 2

Рассмотрим ситуацию, когда компания «Торнберри» (ее мы представили ранее в этой главе) занимает денежные средства под простой процент сроком на три года. Сумма заемных средств составляет 200 000 долл. США, фиксирован­ ная процентная ставка — 6% годовых из расчета простого процента сроком на 3 года.

п — количество лет — 3.

Следовательно, сумма процентов к уплате за три года составляет:

/ , ^ . ^ = 200000.12^=36 000^

Таким образом, при исходной сумме кредита в 200 000 долл. компания выплатит 36 000 долл. в виде процентов.

4.2. Сложный процент

Основное различие между простым и сложным процентом можно описать следующим образом. Процент на инвестицию называется простым, если он не прибавляется к исходной сумме в конце каждого периода. И наоборот, если процент прибавляется к исходной инвестиции, то фактически инвестированная сумма увеличивается, и процентный доход от такой новой суммы инвестиции также увеличивается в той же самой пропорции. Это получило название компаундинга, или сложения процентов, и на такую инвестицию зарабатывается процентных доход исходя из сложного процента.

Например, если 100 долл. положены на счет под 10% годовых по ставке сложного процента, то в конце первого года на счете окажется 110 долл.,

которые складываются из 100 долл. — суммы исходного вложения и 10 долл. — суммы процентного дохода. В течение второго года проценты из расчета 10% годовых начисляются на совокупную сумму в 110 долл. То есть в течение вто­ рого года инвестиция принесет 11 долл. дохода. После же двух лет общая сумма вложения увеличится до 121 долл. Аналогично, за третий год инвестиция при­ несет 12.10 долл. дохода (10% от 121 долл.). Как видно, с каждым годом инве­ стиция приносит все больший процентный доход.

Воспользуемся уже знакомым нам уравнением. Мы имеем: Р — основная сумма (т. е. сумма вложения); г — процентная ставка, выраженная в %.

Тогда сумма процентного дохода, получаемого в конце каждого периода, вычисляется по формуле

100 Далее, сумма в конце периода увеличилась до:

А-Р+Рх-!^100 • Это выражение можно записать в следующем виде:

А=:Р\\ + l-ooJ'

И наконец, сумма денежных средств в распоряжении инвестора по окон­ чании п периодов рассчитывается по формуле

А= Р {\ л- г/100)".

Иногда для получения этого значения применяется ачьтернативная форму­ ла, в которой процентная ставка выражена в десятичных долях (R). То есть если процентная ставка составляет 12%, то Л = 0.12. Сумму после п периодов тогда можно записать как

А =Р {\ + Яу.

Эти формулы предполагают выплаты в конце каждого периода. Во многих практических ситуациях могут производиться дополнительные выплаты. Так, если мы рассматриваем годичный период, а выплаты производятся ежемесячно (т е. 12 раз в году), тогда формулу необходимо видоизменить. При т выплатах за период сумма денежных средств по окончании п периодов составляет:

I \00т)

или

^ пт

А = Р\ ] + ~

т

На последующих примерах мы рассмотрим вычисления по этим формулам с применением сложного процента.

на счете после четырех лет и сумму процентного дохода, полученную за этот

Пример 2

Рассмотрим вложение в 1000 долл США под процентную ставку в в% годовых Проценгы начисляются ежеквартально Общая сумма на счете по окон­ чании пяти тет рассчитывается следующим образом

A^PU-J^]

[ lOOmJ '

где Р = 1000, г = 6%, л = 5, W = 4 (4 периода в году) Отсюда

Сравните полученное значение с общей суммой на счете в случае, если проце}1ты выплачиваются ежегодно В этом случае

Таким образом, даже когда годовая процентная ставка остается неизмен­ ной, увеличение количества периодов вытат уветичивает общую сумму при­ были на а,1ожение Попробуйте рассчитать общую сумму на счете при ежемесяч­ ном начислении процентов

Пример 3

Рассмотрим вложение в 500 ф ст на депозит под 10% годовых По оконча­

Прибавив еще 100 ф ст по окончании четвертого года, получим общую сумму в 1196 15, полученную от вложения в целом 900 ф ст за период в четыре года

4.3. Упражнения: простой и сложный процент

1 (Е) Вычислите сумму простого процентного дохода при вложении на

(О Заполните пропуски в таблице с помощью формулы сложного про­ цента

(ц) С помощью табтицы найдите итоговые накопления от следующих вло­

4.4. Ставка процента в годовом исчислении

Ставка процента в годовом исчислении есть чистый процент, уплачивае­ мый за пользование кредитом или потучаемый от инвестиции, в котором учи­ тывается сложение процентов за несколько временных периодов Так, в иредьщущем разделе мы рассмотрели задачу вычисления суммы годового слож­ ного процента при ежеквартальном начислении процентов Во многих случаях вложение приращивает сумму процентов ежемесячно, хотя указана только го­ довая ставка процента Согласно законодательству Великобритании для таких вложении обязательно указание ставки процента в годовом исчислении, с тем чтобы можно было реально сравнить инвестиционные предложения или вари­ анты кредитования

1 4 0 ГЛАСА 4

Пример 1

Рассмотрим вложение в 100 ф. ст. под 6% годовых при ежемесячном начис­ лении процентов. Указанная ставка в 6% — это так называемая номинальная ставка процента, и она реально не отражает суммы процентного дохода при такого рода вложениях.

В этом примере мы имеем основную сумму Р = 100 ф. ст., г = 6% и число

Таким образом, вложение в 100 ф. ст. принесло за год 6.17 ф. ст. Поэтому ставка процента в годовом исчислении составляет 6.17%.

Пример 2

Компания — эмитент кредитных карточек взимает 2.4% в месяц с сумм дебетового остатка. Номинальная ставка процента составляет 2.4 х 12 = 28.8% в год. Однако она не является чистой процентной ставкой, применяемой в отно­ шении держателей кредитных карточек. Чистая ставка, т. е. процентная ставка в годовом исчислении, рассчитывается следующим образом.

Рассмотрим задолженность в 1 долл. США в течение года. Имеем: /• = 1, « = 1, m = 12 и г = 28.8%.

Получаем накопленную сумму:

Это означает, что чистая ставка процента по этому кредиту составляет 32.93%.

Следует отметить, что базовую формулу сложного процента можно ис­ пользовать в такого рода примерах. Мы знаем, что процентная ставка составля­ ет 2.4% в месяц, и при исходной сумме в 1 долл., инвестированной на год, получаем:

А = Р {\ + /-/100)" = 1 (1 + 2.4/100)'' = (1.024)'' = 1.3292$, что аналогично значению, полученному при использовании альтернативного подхода.

4.5. Чистая дисконтированная стоимость

В этом разделе мы рассмотрим сумму вложения, необходимую для накоп­ ления конкретного объема вложений в заданный момент времени в будущем. Так, если через два года нам понадобится 500 ф. ст., то сколько средств необ-

ходи.мо вложить сейчас, чтобы добиться этого? Это значение называется теку­ щей ценностью будущей потребности. Стандартная формула определяет сто­ имость будущего вложения исходя из заданной текущей стоимости. Следова­ тельно, если эту формулу перевернуть, то мы сможем вычислить текущую сто­ имость исходя из будущей потребности.

Так, мы знаем, что А = Р (1 + г/100)", где Р — текущая стоимость, а А — накопленная, или будущая, стоимость. Путем преобразования формулы получа­ ем:

Р = Ах- ^

(l+r/lOO)"

В качестве варианта используется понятие чистой дисконтированной сто­ имости, которая получается путем вычитания исходного вложения из будущей стоимости. Таким образом,

Чистая дисконтированная стоимость = Ах (1+г/100)" '

где Р обозначает текущую стоимость, а А — будущую стоимость.

Понятие текущей стоимости связано с вычислениями с применением дис­ контирования. В процессе дисконтирования стоимость денег рассматривается в их движении в обратном направлении во времени. Это сопоставимо с понятием компаундинга, когда мы рассматриваем стоимость денег в их движении вперед во времени.

Пример 1

Инвестиционное предложение состоит в фиксированной норме прибыли из расчета 8% годовых в течение 5 лет. Давайте рассмотрим, какую сумму необходимо вложить сейчас, чтобы по истечении указанного срока накопить 2000 ф. ст.

Имеем: А = 2000, г = 8% и л = 5.

Следовательно, текущую стоимость можно вычислить следующим образом:

Итак, сейчас необходимо вложить 1361.17 ф. ст., чтобы через пять лет эта сумма превратилась в 2000 ф. ст.

Пример 2

При ставке сложного процента 6% в год рассмотрим два варианта едино­ временного вложения определенной суммы. По первому варианту через три года мы будем иметь 1000 ф. ст., а по второму варианту - 1200 ф. ст. через пять лет. Эти два варианта можно сравнить, рассчитав для каждого случая чистую

дисконтированную стоимость Для первою варианта текущая стоимость опреде­ ляется как

Для второго варианта текущая стоимость равна

Следовательно, как это видно из полученных значений, текущая стоимосгь при втором варианте выше, чем при первом Поэтому, исходя из приведенных вычислений, второй вариант вложения кажется более выгодным Следует отме­ тить, что на практике для определения наилучшею варианта инвестирования приходится учитывать и другие факторы, о чем мы поговорим позднее в этой главе

Пример 3

Рассмотрим вложение в 1000 долл , которое станет 2000 долл через четыре года При условии годовой ставки дисконта в 8% можно рассчитать чистую дисконтированную стоимость

г— ставка дисконта — 8%,

п— чисю периодов — 4 Итак,

Таким образом, при условии, что ставка дисконта в 8% достаточно реаль­ на, вложение все же выгодно, хотя, конечно, неплохо было бы рассмотреть и другие варианты вложений с целью установления, является ли полученное значение чистой дисконтированной стоимости оптимальным

Пример 4

Рассмотрим ситуацию, когда требуется 100 ф ст на конец периода вло­ жения Чтобы вычислить сумму вложения в настоящий момент, воспользу-