Количественные методы анализа хозяйственной деятельности - Ричард Томас

емся формулой текущей стоимости, как это показано в предыдущих приме­ рах

Так, при условии юдовой процентной ставки в 10% в течение трех лег текущая стоимость составляет

100 ф ст Для данного вложения существует дисконтирующий множитель, рав­ ный" О 751 В нашем примере дисконтирующий множитель — это просто значе­

таблицы дисконтирования В этих таблицах приведены дисконтирующие множи­ тели, соответствующие различным процентным ставкам в зависимости от вре­ менного периода Так, в таблице ниже приведены дисконтирующие множители

Такую таблицу можно использовать для определения суммы вложения, необходимой для достижения определенной суммы в течение заданного пери­ ода времени Так, если через 5 лет при ставке процента в 6% требуется иметь сумму в 500 ф ст , то необходимая сумма вложения находится по таблице стедующим образом вложение на пять лет при процентной ставке 6% имеет дисконтирующий множитель О 747, что видно из таблицы Следовательно, сум­ ма, которую необходимо вложить сейчас, чтобы потом иметь 500 ф ст , рассчи­ тывается следующим образом О 747 х 500 = 373 50 ф ст

4.6.Упражнения: Ставка процента в годовом исчислении

и текущая стоимость

1 (Е) Вычислите ставку процента в годовом исчислении на основании текущей информации, где процентные ставки даны в процентах годовых В каждом из стучаев определите накопленную сумму на конец года

(i) Вложение 100 ф ст при номинальной ставке 6% с ежемесячным начис­ лением процентов

(п) Вложение 500 ф ст при номинальной ставке 10% с ежеквартальным начислением процентов

(щ) Вложение 1000 ф ст при номинальной ставке 7% с начислением про­ центов каждые полгода

2 (1) Определите сумму вложения, необходимую сейчас, с тем чтобы по окончании указанных периодов накопить означенные суммы при условии, что процентный доход прибавляется к сумме вложения по окончании года

144ГЛАВА 4

(i)2000 долл. США через два года при 10% годовых.

(ii)5000 долл. США через три года при 6% годовых.

3.(I) Определите сумму вложения, необходимую сейчас, с тем чтобы на­ копить сумму в 1000 ф. ст. по окончании заданных периодов:

(i)за пять лет при 4% годовых;

(ii)за два года при 7% годовых;

(iii)за шесть лет при 10% годовых.

4.(1) Найдите чистую дисконтированную стоимость для каждого из следу­ ющих вложений и обоснуйте, какое из вложений, на ваш взгляд, наиболее выгодное:

(i)Текушее вложение в 1000 ф. ст., которое за два года должно вырасти до 1600 ф. ст. при ставке дисконта 6%.

(ii)Текущее вложение в 3000 ф. ст., которое за четыре года должно выра­ сти до 6000 ф. ст. при ставке дисконта 10%.

(Ш)Текущее вложение в 10 000 ф. ст., которое за шесть лет должно выра­ сти до 24 000 ф. ст. при ставке дисконта 8%.

4.7. Амортизация

Амортизацию предмета можно определить способом, сходным с методами сложного процента. Если стоимость предмета (или актива) уменьшается по фиксированной процентной ставке (г) за период, то стоимость этого предмета после и периодов рассчитывается по следующей формуле:

/•=10о[1-!!/л/л'.

На последующих примерах мы рассмотрим использование этих формул.

Пример 1

Стоимость одного из тестозамесочных агрегатов компании «Торнберри» в настоящее время составляет 300 000 долл. США. При условии нормы амортиза­ ции 10% в год определите стоимость агрегата через четыре года.

В этом примере мы имеем: Текущая стоимость Ад — 300 000 Норма амортизации = г = 10% Число лет = л = 4

С помощью формулы амортизации определяем:

А„ = Ло(1 - г/ЮОУ = 300 000 (0.9)' = 300 000 х 0.6561 = 196 830 долл.

Таким образом, стоимость этого агрегата через четыре года будет равна 196 830 долл., т. е. за указанный период произойдет снижение его стоимости на сумму 103 170 долл.

Пример 2

Предмет, приобретенный два года назад за 2000 ф. ст., в настоящее время оценивается в 1200 ф. ст. Определите норму амортизации для данного предмета.

Норму амортизации можно вычислить по следующей формуле:

г = 100fl-5;//4„//lo] = 10o[l-2/(l 200/2000)1 = 100[l-Va6l = 100[l-0.775] = 100x0.225 =

= 22.5.

Стоимость данного предмета уменьщается по годовой ставке 22.5%.

4.8. Аннуитет и фонд погашения

Аннуитет — это соглашение, согласно которому производится взнос фик­ сированной разовой денежной суммы, взамен чего через/или в течение огово­ ренного срока получают либо разовую сумму, либо периодические платежи. Например, индивидуальный предприниматель может изъявить желание внести разовую сум.му в аннуитет с тем, чтобы по прошествии определенного периода времени ежемесячно получать пенсию.

Фонд погашения — это альтернативный вариант аннуитета, когда произ­ водятся периодические взносы фиксированной суммы денежных средств для достижения конкретной цели в определенный момент времени.

Ряд формул, используемых в таких расчетах, могут быть сложны. Одна­ ко в данном контексте все же целесообразно упомянуть одну конкретную формулу.

Рассмотрим разовую сумму А, вложенную в начале периода. Если / — сумма, прибавленная к сумме вложения или вычтенная из нее в конце каждого года, то накопленная сумма в конце п лет представлена следующей формулой:

^ ' ' г/100

Первый элемент в этом выражении служит для вычисления накопленной стоимости от первоначального вложения {А), второй элемент служит для вы­ числения сум.мы, накопленной от периодических платежей.

Эту формулу можно преобразовать в выражение для периодических плате­ жей Если первоначально вложена сумма {А) при ставке процента г в год, то для получения в итоге суммы S через п лет необходимы периодические платежи

(/) в конце каждого года, где / рассчитывается по формуле

/•/100 5-^(1+^/100)"

/ = -

/1(1+/-/100)"-1

Эту формулу можно несколько упростить с помощью альтернативного выражения для процентной ставки R = г/ЮО.

Тогда выражение для периодической суммы вложения / имеет следующий

вид:

R\S-A{I+R)"

/ = _i

На последующих примерах мы рассмотрим эти формулы аннуитета.

Пример 1

Рассмотри.м первоначальное вложение в 1000 ф. ст., за которым в течение четырех лет ежегодно производились регулярные платежи в сумме 500 ф. ст. При условии годовой процентной ставки в 10% стоимость вложения в конце этого периода определяется по формуле

= 1464.1 + 2320.5 = 3784.60 ф. ст.

Обратите внимание, что два элемента формулы служат для вычисления накопленных сумм для каждого элемента вложения. Так, в этом примере исход­ ное вложение в 1000 ф. ст. прирастает до 1464.10 ф. ст. через четыре года. Анало­ гично, ежегодные платежи в сумме 500 ф. ст. прирастают до итогового значения в 2320.50 ф. ст. (Сюда включен и заключительный платеж в 500 ф. ст. в конце четвертого года.) Поэтому общая стоимость вложения складывается из этих двух значений.

Пример 2

При раз.мещении исходной суммы в 10 000 ф. ст. на вклад под 6% годовых и снятии 1500 ф. ст. в конце каждого года какая сумма останется на счете через пять лет?

В этом случае мы имеем А = 10 000, г = 6%, л = 5, и периодический платеж есть величина отрицательная, так как происходит снятие денег со счета, Таким образом, / = —1500, и окончательная сумма по прошествии указанного периода составит:

Следовательно, no окончании указанного периода на счете останется 4926 55 ф С1 Обрагше внимание, что составные части этого ответа таковы: значение 13382 30 ф ст — это сумма, коюрая могла бы быть на C4eie через 5 лет при исходном вложении в 10 000 ф ст ; значение 8455.75 ф. ст. вк^тючает изъятие со счета ia данньп! период (пя1ь раз по 1500 ф. ст.), а также потери процент ною дохода, вызванные вышеуказанными изъятиями.

Пример 3

Инвестор хочет вложить 5000 долл. США сейчас с последующими пери­ одическими взносами в конце каждого юда в течение следующих щссти лет При условии процентои ставки 8*^ какие суммы необходимо вносшь в

Следовательно, ежегод1!0 необходимо довносить 1644.75 долл., чтобы приpaciHTb исходное в.1ожение до 20 000 долл. через 6 лет

Пример 4

Инвестиционная ко.мпания предлагает аннуитет, при котором первонача^тьный разовый взнос в сумме 12 000 ф. ст. будет приносить по 2000 ф. ст. в конце каждого года в течение следующих десяти лет. Установите выгодность этого вложения при условии номинальной ставки процента в 7%.

2 (I) Станок, стоивший при приобретении 3 года назад 10 000 доля США, в иасюящее время оценивается только в 4000 долл Определите годовую норму амортизации для этого станка

3 (I) Определите стоимость вложения в конце заданного периода на осно­ вании следующей информации-

СО Первоначальное вложение в 1000 ф ст с последующими ежегодными довзносами в сумме 400 ф ст в течение трех лет под 8% годовых.

(и) При отсутствии первоначального взноса в конце каждого года в тече­ ние 5 лет делаются взносы по 1000 ф ст. под 4% годовых.

необходимо довносить в конце каждого года для накопления заданной суммы

4.10. Оценка инвестиций

Мы можем использовать методы сложения процентов, амортизации и те­ кущей стоимости, уже описанные ранее в этой главе, при рассмотрении целе­ сообразности инвестиций или при сравнении различных вариантов вложения средств При оценке инвестиции дополнительно вводится понятие внутренней нормы рсшабельности Это доход в процентах от суммы инвестиции, рассчи­ танный ио чистой дисконтированной стоимости и часто называемый отдачей

Более конкретно это можно описать как ставку дисконта по проекту, которая лает чистую дисконтированную стоимость, равную нулю. Это определение зву­ чит несколько странно, и поэтому на последующих примерах .мы покажем применение данной методики. А пока, в общем виде, если А„ — сумма, вло­ женная сейчас, и А„ — стоимость инвестиции через п лет, то мы получаем формулу

Мы уже встречались с этой формулой текущей стои.мости. Если А^^ w А„ известны, то тогда мы можем определить значение г — внутреннюю норму рентабельности.

Данную формулу можно представить в обобщенном виде с учетом прибы­ ли на вложение в рахчичные периоды. Так, если исходное вложение А^ дает доход /1, в конце первого года, Aj — в конце второго года и т. д., то общая формула расчета г выглядит так;

Вычислить г по этой сложной формуле — дело крайне непростое, и поэто­ му обычно прини.маются оценочные методы. На практике мы рассматриваем различные нормы отдачи и находим чистую дисконтированную стоимость пу­ тем сравнения текущей стоимости с суммой исходного вложения. Для получе­ ния наилучшей оценки внутренней нормы рентабельности (г) мы рассматрива­ ем какое-нибудь значение г, которое дает небольшую положительную чистую дисконтированную стоимость, и второе значение г, которое дает небольшую отрицательную чистую дисконтированную стоимость. Затем с помощью графи­ ческих методов мы можем определить значение внутренней нормы рентабель­ ности между этими двумя величинами, которое дает нулевую чистую дискон­ тированную стоимость.

Пример 1

Рассмотрим исходное вложение 1000 долл. США в оборудование, что, как ожидается, принесет доход в 1600 долл. в конце второго года. Внутреннюю норму рентабельности (г) для данного вложения получаем по формуле

л =(l+r/lOO)"А„

где Л = 1000, Д, = 1600 и /I = 2. Следовательно,

1000 '600 (1+г/100)^

Путем перестановки вычисляем г и получаем г = 26.5. Таким образом, внутренняя норма рентабельности для данного вложения составляет 26.5% в год.

Пример 2

Рассмотрим первоначальное вложение в сумме 2400 ф. ст., которое дает 1200 ф. ст. в конпе первого года, 800 ф. ст. в конце второго года и 500 ф. ст. в конце фетьего года. Внутреннюю норму рентабельности можно вычислить по следующей формуле:

(1+Л/100) (l+r/lOO)^ (1+г/100)^

где Л = 2400, Л, = 1200, А^ = 800 и А , = 500.

Данное уравнение трудно использовать для вычисления г. Поэтому можно применить фафический метод. Мы имеем:

Чистая дисконтированная стоимость =

близка к нулю. (Здесь лучше всего использовать компьютер). Так, метолом проб и ошибок мы на.ходим, что при г = 4% чистая дисконтированная стоимость составляет —62.01 и при л = 2% чистая дисконтированная сто­ имость составляет +16,57. Следовательно, значение внутренней нормы рен­

график, при этом вычисления производились согласно тому, как мы описы­ вали ранее.

Из фафика на рис. 4.1 видно, что оценочное значение внутренней нор.мы рентабельности находится чуть выше 2%, приблизительно на уровне 2.5%. Други.ми словами, отдача от этого вложения очень мала, и, возможно, необходимо исследовать другие варианты, с тем чтобы определить, какому инвестиционно­ му плану отдать предпочтение. Более точную оценку можно получить путем оценки чистой дисконтированной стоимости при значениях г, взятых с мень­ шим интервалом. Так, если определить чистую дисконтированную стоимость для значений г = 2%, 2.2%, 2.4%, 2.6%, 2.8% и 3%, то полученное значение будет более точным. Однако на практике такая степень точности, вероятно, будет не нужна, если только не рассматривается два или более вариантов со схожей доходностью.

Оценка внутренней нормы рентабельности

о

о

2

s:

о

(О

ш

о

а

о

о

X

Годовая норма (%)

Рис. 4 . 1 . Чистая дисконтированная стоимость

Пример 3

Консультант фуппы «Паркер и Джеймсом» помогает компании провести сравнение различных вариантов инвестиций. Так, например, можно провести сравнение внутренней нормы рентабельности нескольких вариантов. Рассмот­ рим два приведенных ниже варианта. Каждый из рассматриваемых проектов требует первоначального капиталовложения в сумме 1 млн. ф. ст. Оценки объема прибыли в течение четырех лет представлены в таблице:

Простое сравнение двух вариантов может заключаться в сопоставлении общего объема прибыли за четырехлетний период. В нашем случае проект А принесет 1 450 000 ф. ст., а проект Б — 1 350 000 ф. ст. Следовательно, выглядит так, что проект А — более удачное вложение. Однако при этом, конечно, не учитывается стоимость денег во времени. Проект Б приносит большую прибыль в первые годы, тогда как проект А начинает приносить более существенную прибыль позднее. Метод внутренней нормы рентабельности поможет осязаемо сравнить эти два варианта. Для проекта А чистая дисконтированная стоимость рассчитывается, как показано ниже. (Цифры даны в тыс. ф. ст. Таким образом, первоначальное вложение на сумму в 1 млн. ф. ст. в расчете показано как 1000.)

Чистая дисконтированная стоимость (ЧДС) =