- •Тема I – линейная алгебра
- •§1. Матрицы и действия над ними
- •1.1. Основные понятия
- •1.2. Действия над матрицами
- •§2. Определители
- •2.1. Основные понятия
- •2.2. Свойства определителей
- •§3. Обратная матрица
- •3.1. Основные понятия
- •3.2. Решение матричных уравнений
- •3.3. Метод элементарных преобразований
- •§4. Системы линейных алгебраических уравнений
- •4.1. Основные понятия
- •4.2. Правило Крамера решения слау
- •4.3. Метод Гаусса решения слау
- •§5. Векторы
- •5.1. Основные понятия
- •Для того, чтобы задать вектор, необходимо указать:
- •5.2. Операции над векторами
- •5 .3. Координаты векторов
- •5 .4. Скалярное произведение векторов
- •5.5. Векторное произведение
- •5.6. Смешанное произведение
- •§6. Аналитическая геометрия на плоскости
- •6.1. Уравнения прямых на плоскости
- •6.2. Кривые второго порядка на плоскости
- •§7. Аналитическая геометрия в пространстве
- •7.1. Уравнение плоскости в пространстве
- •7.2. Уравнения прямой в пространстве
- •7.3. Взаимное расположение прямых и плоскостей
- •7.4. Поверхности второго порядка
5 .4. Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух векторов называется число
(где - угол между векторами , отложенными из одной точки).
Свойства:
1) для любых векторов
2) для любых векторов и числа
3) для любых векторов
4)
5) (при этом считается, что нулевой вектор перпендикулярен любому)
6) .
Теорема 5.3. Пусть , . Тогда
.
Доказательство: Воспользуемся разложением векторов по базису и свойствами скалярного произведения:
.
Последнее равенство следует из того, что
(т.к. ) и т.п.
Следствие. .
Замечание. Для векторов на плоскости, соответственно,
и .
Пример 1. Найти угол между векторами
Решение: ,
.
Пример 2. .
Найти .
Решение: Используем свойства скалярного произведения:
.
Пример. Даны точки: А(-2; 1), В(3; 0), С(1; 4). Найти основание высоты треугольника АВС, проведенной из точки В.
Р ешение: Точка N(xN, yN) АС ;
BN – высота треугольника, то есть .
Получили два линейных уравнения относительно координат:
.
Таким образом, искомая точка N(0; 3).
5.5. Векторное произведение
В екторным произведением двух векторов называется вектор , определяемый следующим образом:
1) , где - угол между векторами
2)
3) векторы образуют правую тройку векторов.
Свойства:
1) (антикоммутативность);
2) ;
3)
4)
5) (геометрический смысл векторного произведения):
м одуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах :
Теорема 5.4. Пусть , . Тогда
Доказательство аналогично доказательству соответствующей теоремы о скалярном произведении, с поправкой на свойства векторного произведения.
Замечание. Для векторов на плоскости (с двумя координатами) векторное произведение не определено.
Пример. Даны векторы: . Найти высоту параллелограмма, построенного на этих векторах, опущенную из конца вектора .
Р ешение:
Рассмотрим параллелограмм ABCD, построенный на данных векторах. С одной стороны, как известно,
.
С другой стороны, воспользовавшись геометрическим смыслом векторного произведения, имеем: .
Найдем векторное произведение:
,
следовательно, .
Кроме того, найдем
Таким образом, .
5.6. Смешанное произведение
Смешанным произведением трех векторов называется число, определяемое соотношением .
Из свойств смешанного произведения особый интерес на практике представляет его геометрический смысл:
Т еорема 5.5. Модуль смешанного произведения трех ненулевых векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, отложенных из одной точки:
.
Следствие. Три ненулевых вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно 0.
Из определения смешанного произведения и теорем о вычислении скалярного и векторного произведений следует следующая теорема:
Теорема 5.6. Пусть , б . Тогда .
Пример. Выяснить, лежат ли точки A(5; 7; -2), B(3; 1; -1),
C(9; 4; -4), D(1; 5; 0) в одной плоскости.
Решение: Данные точки будут лежать в одной плоскости в том и только том случае, если векторы компланарны, что в свою очередь, равносильно утверждению, что смешанное произведение этих векторов равно 0. Проверим, так ли это.
;
,
следовательно, данные точки лежат в одной плоскости.