Тема I – линейная алгебра

§1. Матрицы и действия над ними

1.1. Основные понятия

• Матрицей размера называется прямоугольная таблица, состоящая из m строк и n столбцов:

Элементами матрицы a_ij могут быть, например, действительные или комплексные числа, функции или другие объекты. Условная запись a_ij обозначает элемент матрицы А, стоящий в i-й строке и j-м столбце.

• Если m=n, то матрица называется квадратной порядка n. Элементы a_ii квадратной матрицы называют элементами главной диагонали.

Пример: - матрица размера ;

а₁₁=1, а₁₂=0, а₁₃=-2, а₂₁=3, а₂₂=-1, а₂₃=1.

• Матрицы одного размера называются равными, если равны их соответствующие элементы, то есть .

• Матрица А называется нулевой, если все ее элементы . Обозначают: А=0.

• Квадратная матрица А называется диагональной, если все ее элементы, кроме элементов главной диагонали, равны 0.

• Диагональная матрица называется единичной, если . Единичную матрицу обозначают: .

• Квадратная матрица называется треугольной, если равны 0 все элементы под ее главной диагональю (верхнетреугольная матрица) или над главной диагональю (нижнетреугольная матрица):

1.2. Действия над матрицами

• Суммой двух матриц и одного размера называется матрица того же размера, где

Легко видеть, что А+В=В+А и А+0=А.

• Произведением матрицы на число  называется матрица того же размера, где .

Свойства:

1. А+В=В+А (коммутативность сложения матриц)

2. (А+В)+С=А+(В+С)=А+В+С (ассоциативность сложения)

3. А+0=0+А

4. (А+В)= А+В

5. (+)А=А+А

• Произведением матриц А размера и В размера называется матрица С=АВ размера , где

.

Говорят, что элемент с_ij получен в результате умножения i-й строки матрицы А на j-й столбец матрицы В:

,

причем такое произведение можно составить потому, что строки матрицы А и столбцы матрицы В содержат одинаковое число элементов. Если это не так, то матрицы перемножить нельзя.

Отметим, что, вообще говоря, (может даже быть так, что произведение АВ существует, а ВА – нет).

Свойства:

1. (отсутствие коммутативности умножения матриц)

2. А(ВС)=(АВ)С (ассоциативность умножения)

3. (АВ)=( А)В=А(В)

4. ()А=(А)=( А)

5. (А+В)С=АС+ВС

С(А+В)=СА+СВ (дистрибутивность)

Легко видеть, что если Е – единичная матрица порядка n и А – матрица размера , то АЕ=А; если А – матрица размера , то ЕА=А; если же А – квадратная матрица порядка n, то АЕ=ЕА=А.

Возведение квадратной матрицы в натуральную степень определяется естественным образом: А²=АА и т.д.

• Матрица называется транспонированной к матрице , если . При этом используют обозначение . Строки матрицы А^Т, являются столбцами матрицы А и наоборот.

Свойства:

1. 

2. 

Пример. Даны матрицы:

, , .

1) Определить размеры этих матриц; 2) вычислить, если возможно, их попарные произведения; 3) выполнить, если возможно, действия: А+В; 3А^Т+С; АА^Т+В².

Решение:

1) А – матрица размера 23; В – квадратная матрица порядка 2 (т.е. размера 22), С – матрица размера 32.

2) Произведение АВ не существует, т.к. число элементов в строке матрицы А не равно числу элементов в столбце матрицы В. Аналогично, не существует произведение ВС.

;

;

; ;

3) Найти сумму А+В невозможно, т.к. не совпадают размеры матриц;

;

.