Лабораторная работа № 11

Программа расчета уравнения регрессии и коэффициента корреляции

Блок информации

Понятия о корреляционных зависимостях. Вычисление коэффициента корреляции. Множественная корреляция.

Существуют методы оценки близости полученных эмпирических данных с функциональными зависимостями типа (3.10), более того, можно оценить степень взаимосвязи различных наблюдаемых переменных, используя коэффициент корреляции r. Отметим, что в корреляционном анализе уравнение (3.10) получило название выборочного уравнения прямой линии регрессии у на х, причем, коэффициент a=_yx получил название выборочного коэффициента регрессии у на х.

При большом числе измерений каждому из значений х и у соответствует не одно, а несколько значений этих величин. Тогда данные эксперимента группируют в так называемую корреляционную таблицу (см. таблицу 2). В этой таблице n_v - число встречаемости одинаковых значений v, а n_t - одинаковых t и n_vt - число встречаемости одинаковых пар v и t во всех опытах (они находятся на пересечении соответствующих строк и столбцов). В первой строке таблицы указаны наблюдаемые значения СВ t, а в первом столбце - значения СВ v. Очевидно, что

,

т.е. общему числу измерений. Отметим, что средние значения

, (3.17)

Тогда коэффициент регрессии определится по формуле, которая является модификацией (3.15) с учетом замечаний (3.17).

(3.18)

Выборочный коэффициент корреляции , где и - выборочные средние квадратические отклонения, определяемые по формулам

(3.19)

Как уже отмечалось выше (2.IV) для распределения Гаусса при r=0 величины v и t независимы, а при r=1 они связаны чисто функциональной зависимостью типа (3.10), что весьма важно для практических выводов.

В данном примере (таблица 2) зависимость v=v_o+_vtt имеет конкретный физический смысл- это газовый закон Гей-Люссака, причем , а из _vt можно найти  - коэффициент теплового расширения газа (_vt=v_o).

В общем случае выборочный коэффициент корреляции определяется по формуле:

,

где

Существенно, что r может отличаться от коэффициента корреляции r_х,у, который можно рассчитать по формуле:

,

где , а _х и _у- средние квадратические отклонения.

При изучении связи между несколькими СВ х₁, х₂, …, х_n используют корреляционную матрицу, состоящую из коэффициентов корреляции r_ij. Используют также множественный коэффициент корреляции. Например, при n=3 имеем

,

который характеризует меру линейной зависимости между СВ х₁ 2-мя другими СВ (х₂ и х₃).

Для таких случаев вычисляются и частные коэффициенты корреляции (когда, например, исключается влияние х₃) между х₁ и х₂. Для этих величин разработаны специальные программы на ЭВМ.

Приложение 1

ПРОГРАММА РАССЧЕТА КОЭФФИЦИЕНТОВ КОРРЕЛЛЯЦИИ

REM **программа вычисляет коэффициент корреляции **

CLS

xs = 0: ys = 0: h = 0: sdx = 0: sdy = 0

INPUT "Kоличество n= ", n

REM ********* заполнение массивов ***********

DIM x(n): DIM y(n)

FOR m = 1 TO n

PRINT "x ("; m; ") ="; : INPUT "", x(m)

PRINT "y ("; m; ") ="; : INPUT "", y(m)

NEXT m

REM ********************************************

REM ************* средние x и y ******************

FOR m = 1 TO n

xs = xs + x(m)

ys = ys + y(m)

NEXT m

xs = xs / n: ys = ys / n

REM *******************************************

FOR m = 1 TO n: sdx = sdx + (x(m) - xs): NEXT m

FOR m = 1 TO n: sdy = sdy + (y(m) - ys): NEXT m

FOR m = 1 TO n: h = h + (y(m) - ys) * (x(m) - xs): NEXT m

REM ********************************************

REM ************ дисперсия *********************

FOR m = 1 TO n

sx = sx + (x(m) - xs) ^ 2

sy = sy + (y(m) - ys) ^ 2

NEXT m

cx = sdx / n: cy = sdy / n

REM **** среднее квадратическое отклонение *****

sxs = SQR((sx / n) - cx ^ 2)

sys = SQR((sy / n) - cy ^ 2)

REM ********* коэффициент корреляции ***********

rxy = ((h / n) - cx * cy) / (sxs * sys)

PRINT "Koэффициeнт kоppеляции rxy= "; rxy

SLEEP 15

Лабораторная работа № 12.