2. Статический расчет рамы

Поперечная рама здания имеет регулярную расчетную схему с равными пролетами монолитных ригелей и длинами колонн. Сечение монолитных ригелей и колонн одинаково на всех этажах. Монолитные ригели опираются на наружные стены шарнирно. При расчете инженерным методом, с целью упрощения, такую многоэтажную раму расчленяют на одноэтажные, при этом в точках нулевых моментов колонн условно размещают опорные шарниры.

Рис.6. Расчетная схема одноэтажной рамы

1) Определяем геометрические характеристики элементов поперечной рамы. Находим центр тяжести поперечного сечения монолитного железобетонного ригеля, представляющего собой тавр (см. рис.3):

, (2.1)

где А=220*520+1920*70=248800 мм².

у_c=101,67 мм.

Момент инерции ригеля относительно центра тяжести поперечного сечения:

, (2.2)

I_p=461413333,3+701911370,2+54880000+597393068,2=1815597771,7мм⁴

Момент инерции поперечного сечения колонны (см. рис.4):

; (2.3)

I_k=250⁴/12= 325520833,3 мм⁴.

2) Погонная жесткость ригеля (см. рис.6):

, (2.4)

где - начальный модуль упругости бетона, для класса бетона В25 (по заданию для монолитных конструкций) =32500 МПа.

=32500*1815597771,7/4200=14049268471,5 мм³

Погонная жесткость колонны (см. рис.6):

, (2.5)

где - начальный модуль упругости бетона, для класса бетона В20 (по заданию для сборных конструкций) =30000 МПа.

= 30000*325520833,3/(0,5*3000) = 6510416666 МПа·мм³

3) Определяем соотношение погонных жесткостей (η) средней колонны и ригеля, пересекающихся в одной точке (см. рис.6):

; (2.6)

η=2*6510416666/14049268471,5=0,927

4)Изгибающие моменты ригеля в опорных сечениях М_i вычисляем по формуле (схема расположения опорных элементов показана на рис.7):

, (2.7)

где γ_n (γ₁, γ₂, γ₃, γ₄ – в соответствии со схемой загружения табл. 2) – коэффициенты для вычисления опорных изгибающих моментов, определяются по табл. 26 [5] в зависимости от схем загружения и коэффициента η.

=23,87кН/м – постоянная расчетная нагрузка на 1 м.п. ригеля от перекрытия;

=8,63 кН/м – временная расчетная нагрузка на 1 м.п. ригеля от перекрытия;

l₂=4,2 м – расчетная длина ригеля.

Варианты схем загружения представлены в табл.2

Рис.7. Схема расположения опорных моментов

5) Вычисляем изгибающий момент ригеля в опорном сечении для ригелей от постоянной нагрузки и различных схем загружения временной нагрузкой. Вычисления выполняем в табличной форме, см. табл.2.

Изгибающий момент ригеля в опорном сечении М₃⁽⁴⁾ находим по формуле:

; (2.8)

М₃⁽⁴⁾ = -8,63*4,2² /16 – (15,36)/4 = -5,67 кНм

Таблица 2

Схема загружения	Расчетные опорные моменты
	М1, кНм	М2, кНм	М3, кНм
1. Постоянные нагрузки	-46,23	-37,68	-37,68
2. Временные нагрузки	-11,828	-4,05	-4,05
3. Временные нагрузки	-5,145	-9,575	-9,575
4. Временные нагрузки	-17,55	-15,34	-5,67

6)Определяем изгибающие моменты ригеля в пролетных сечениях ригеля:

- в крайнем пролете – невыгодная комбинация схем загружения «1+2», изгибающий момент ригеля в опорном сечении:

М₁⁽¹⁺²⁾= -58,058 кНм.

Поперечные силы:

; (2.9)

; (2.10)

Q₁⁽¹⁺²⁾=54,43 кН;

Q₂⁽¹⁺²⁾=82,66 кН.

Максимальный изгибающий момент ригеля в пролетном сечении равен:

; (2.11)

М_1пр⁽¹⁺²⁾=45,58 кНм.

- в среднем пролете – невыгодная комбинация схем загружения «1+3», изгибающий момент ригеля в опорном сечении М₂⁽¹⁺³⁾ составит:

М₂⁽¹⁺³⁾= М₃⁽¹⁺³⁾= -37,68-9,575= - 47,255кНм;

Максимальный изгибающий момент ригеля в пролетном сечении равен:

; (2.12)

М_2пр⁽¹⁺³⁾=24,41 кНм.

7) Перераспределение моментов в ригеле под влиянием образования пластического шарнира. В соответствии с [2,5] практический расчет заключается в уменьшении не более, чем на 30% опорных моментов ригеля для комбинации схем загружения «1+4», при этом намечается образование пластических шарниров на опоре.

К эпюре моментов комбинации схем загружения «1+4» добавляют выравнивающую треугольную эпюру моментов так, чтобы уровнялись опорные моменты для удобства армирования опорного узла.

Для комбинации схем загружения «1+4» уменьшаем на 30% максимальный опорный момент М₁ и вычисляем ординаты выравнивающей треугольной эпюры моментов:

ΔМ1= -0,3М₁⁽¹⁺⁴⁾=-0,3(-46,23-17,55)=19,134 кНм;

ΔМ₂=-М₂⁽¹⁺⁴⁾+М₁⁽¹⁺⁴⁾+ΔМ₁=-(-37,68-15,36)+(-46,23-17,55)+19,134=8,394 кНм;

ΔМ₃=ΔМ₂/3=2,798кНм;

К эпюре моментов для комбинации схем загружения «1+4» прибавляем выравнивающую эпюру. Значения изгибающих моментов ригеля в опорных сечениях на эпюре выровненных моментов определяем по формуле:

; (2.13)

М₁= (-46,23-17,55)+19,134= -44,98 кНм;

М₂= (-37,68-15,36)+8,394= -44,98 кНм;

М₃= (-37,68-5,67)+2,798= -40,7 кНм.

Изгибающие моменты ригеля в пролетных сечениях ригеля на эпюре выровненных моментов составят:

- в крайнем пролете – изгибающий момент ригеля в опорном сечении для комбинации схем загружения «1+4»:

М₁⁽¹⁺⁴⁾= -46,23-17,55=-63,78 кНм,

поперечные силы аналогично формулам (14) и (15):

Q₁⁽¹⁺⁴⁾=53,06 кН;

Q₂⁽¹⁺⁴⁾=83,43 кН.

Расстояние от опоры, в которой значение перерезывающих усилий в крайнем пролете равно 0, находим из уравнения:

; (2.14)

х=1,633 м.

Находим значение изгибающего момента ригеля в пролетном сечении для комбинации «1+4» по формуле:

; (2.15)

М_1пр⁽¹⁺⁴⁾=53,06*1,63-32,5*1,633² /2= 43,32 кНм.

Определяем значение изгибающего момента ΔМ_1пр на выравнивающей эпюре в точке с координатой х=1,633 м:

; (2.16)

ΔМ_1пр=12,57 кНм.

Изгибающий момент ригеля в пролетном сечении на эпюре выровненных моментов составит:

(2.17)

М_1пр=56,1 кНм.

- в среднем пролете – изгибающий момент ригеля в опорном сечении на второй и третьей опорах (см. рис.7 и табл.2) для комбинации схем загружения «1+4» будут равны:

М₂⁽¹⁺⁴⁾= -37,68+(-15,36)= -53,04 кНм;

М₃⁽¹⁺⁴⁾= -37,68+(-5,67)=-43,35 кНм.

Аналогично формулам (14) и (15), находим перерезывающие усилия в среднем пролете монолитного ригеля:

Q₁⁽¹⁺⁴⁾=68,25+1,615=69,865 кН;

Q₂⁽¹⁺⁴⁾=68,25-1,615=66,635 кН.

Изгибающий момент в пролетном сечении среднего ригеля для комбинации схем загружения «1+4», который находится в центре среднего пролета ригеля, определяем по формуле:

; (2.18)

М_2пр⁽¹⁺⁴⁾= 22,054кНм.

Значение момента на выравнивающей эпюре в центре среднего пролета составляет:

; (2.19)

ΔМ_2пр=5,596 кНм.

Изгибающий момент ригеля в пролетном сечении на эпюре выровненных моментов будет равен:

(2.20)

М_2пр= 24,76 кНм.

8) Определяем изгибающие моменты монолитного ригеля в опорных сечениях по грани колонны.

Опорные моменты ригеля по грани колонны необходимо вычислять для всех комбинаций загружения.

Вычисляем изгибающие моменты ригеля в опорном сечении по грани крайней колонны слева:

• Для комбинации схем загружения «1+4» и выровненной эпюре моментов:

Значения поперечных сил аналогично формулам (14) и (15):

Q₁⁽¹⁺⁴⁾=60,75 кН;

Q₂⁽¹⁺⁴⁾=75,75 кН.

; (2.21)

М₁^*= -35,51 кНм

• Для комбинации схем загружения «1+3»:

(2.22)

Q₂⁽¹⁺³⁾=29,58 кН.

М₁^(1+3)*= -47,677 кНм

Для комбинации схем загружения «1+2»

Q₂⁽¹⁺²⁾=82,07 кН;

М₁^(1+2)*= 48,26 кНм.

Вычисляем изгибающие моменты ригеля в опорном сечении ригеля по грани средней колонны справа:

• Для комбинации схем загружения «1+4» и выровненной эпюре моментов:

Перерезывающая сила на опоре равна:

; (2.23)

Q₁⁽¹⁺⁴⁾=68,25-0,71=67,54 кН;

изгибающий момент: М₂^*= -36,54кНм.

По результатам вычислений расчетный изгибающий момент ригеля в опорном сечении по грани средней колонны равен:

М_оп= М₁^(1+2)*= -48,26кНм.

Расчетный изгибающий момент ригеля в пролетном сечении в крайнем пролете: М_пр¹= М_1пр=56,1 кНм, в среднем пролете: М_пр²= М_2пр⁽¹⁺³⁾=24,41 кНм.