Примеры заданий с решениями по теме

Задание №1. Радиус – вектор точки A относительно начала координат меняется со временем по закону , где - постоянные, - орты осей x и y. Найти: уравнение траектории точки y(x), зависимость от времени скорости , ускорения и их модульных значений; зависимость от времени угла между векторами и .

Решение:

В ПДСК выражение для радиус – вектора имеет вид:

(1)

Сравнивая (1) с выражением для радиус – вектора в условии задачи, получаем уравнения для координат с их временной зависимостью:

(2)

(3)

(4)

Для того, чтобы найти уравнение траектории точки y(x), в (2) время необходимо выразить через координату x и подставить в (3). В результате имеем:

(5)

(6)

Соотношение (6) – есть искомое уравнение. Оно является уравнением параболы с вершиной в начале координат.

Для нахождения временных зависимостей для скорости и ускорения используем координатный метод:

(7)

(8)

В ПДСК выражение для скорости имеет вид:

(9)

Подставляя (7) и (8) в (9), находим мгновенную скорость в векторной форме:

(10)

Из соотношения (7) видно, что скорость в направлении x не зависит от времени, то есть движение равномерное, а соотношение (8) имеет линейную зависимость, то есть движение равноускоренное. Результирующее движение является более сложным

Абсолютное (модульное) значение скорости можно найти по формуле, используя (7) и (8):

(11)

(12)

Компоненты мгновенного ускорения с учетом (7) и (8) можно найти из соотношений:

(13)

(14)

Выражение для мгновенного ускорения в ПДСК имеет вид:

(15)

Подставляя (13) и (14) в (15), получаем:

(16)

Модульное значение мгновенного ускорения можно найти по формуле:

(17)

Используя (13) и (14), находим с помощью (17) необходимое соотношение:

(18)

Угол между векторами и можно найти, используя скалярное произведение этих векторов:

(19)

(20)

Подставляя в (20) значение соответствующих компонент и модулей, получаем временную зависимость для :

(21)

Угловую зависимость в данном случае удобней выразить через тангенс искомого угла:

(22)

Подставляя (21) в (22), окончательно получаем:

(23)

(24)

Ответ: ; ; ; ; ; .

Задание №2. Точка движется по плоскости так, что ее тангенциальное ускорение , а нормальное ускорение , где - постоянные, - время. В момент точка покоилась. Найти зависимость от пройденного пути радиуса кривизны траектории точки и его полного ускорения .

Решение:

Используя значение тангенциальной компоненты полного ускорения, найдем модульное значение скорости по формуле:

(1)

Решение этого уравнения имеет вид:

(2)

Удовлетворив начальным условиям задачи , получаем окончательно:

(3)

Далее находим временную зависимость для пройденного пути, используя соотношение:

(4)

В формуле (4) выразим время через пройденный путь:

(5)

Подставляя (5) в выражение для нормальной компоненты тангенциального ускорения, находим:

(6)

Воспользовавшись формулой для нахождения абсолютного значения полного мгновенного ускорения через его компоненты, получаем его зависимость от пройденного пути :

(7)

Зависимость радиуса кривизны от пройденного пути можно найти, воспользовавшись формулой, связывающей линейную скорость и нормальную компоненту полного ускорения:

(8)

Соотношение (8) с учетом (3)примет вид:

(9)

Отсюда находим (s) с учетом (5):

(10)

Ответ: ,

Задание №3. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону , где рад/с, рад/с³. Найти средние значения угловой скорости и углового ускорения за промежуток времени от до остановки; угловое ускорение в момент остановки тела.

Решение:

Для того чтобы определить время остановки тела, воспользуемся тем фактом, что как линейная так и угловая скорости в этот момент обращаются в нуль . Временную зависимость для угловой скорости можно найти, зная временную зависимость для угла из условия задачи:

(1)

(2)

Среднее значение угловой скорости за соответствующий промежуток времени можно рассчитать по формуле:

(3)

(4)

(5)

Подставляя (4), (5) и (2) в (3), находим среднюю угловую скорость:

(6)

Среднее значение углового ускорения можно найти из соотношения:

(7)

(8)

(9)

Подставляя (8), (9) и (2) в (7), находим искомое среднее значение углового ускорения:

(10)

Знак у среднего углового ускорения указывает на то, что движение является равнозамедленным.

Для определения углового ускорения в момент остановки тела найдем вначале его временную зависимость, используя (1), а затем подставим в нее время из соотношения (2):

(11)

(12)

Подставляя значения постоянных и в (6), (10), (12), находим абсолютные значения искомых величин:

рад/с, рад/с², рад/с²

Ответ: рад/с; рад/с², рад/с².