2.1.20. Нелинейные колебания

Нелинейные колебания совершаются тогда, когда силы, действующие на осциллятор (возвращающая, трения) описываются нелинейными функциями (рис. 2, раздел 2.1.14, (100)). Простейшим видом нелинейных колебательных процессов являются процессы в системе, компоненты которой конкурируют между собой /5/. Например, при эксплуатации техники конкурентными процессами являются ремонт (восстановление функций) и износ (старение). Для двух конкурирующих процессов задача нахождения динамики их изменения во времени была решена еще В. Вольтерра применительно к определению численности популяций в системе хищник - жертва (зоологическая или ботаническая модель). Оказалось, что математические модели ряда основных процессов, протекающих в организмах и клетках, в технических системах, в обществе сходны с моделью Вольтерра.

Пусть х – число жертв (зайцев), а у – число хищников (волков). В простейшем случае скорость изменения численности жертв определяется скоростью их размножения пропорциональной их количеству х, а также их гибелью от встреч с хищниками, которая пропорциональна произведению ху. Скорость изменения численности хищников определяется наличием пищи, т.е. пропорциональна величине ху, и скоростью их гибели, пропорциональной их числу у.

Пусть х – количество объектов, подлежащих восстановлению (ремонту), а у – затраты ресурсов (материальных, энергетических, финансовых). Скорость появления объектов х зависит от их количества, и, в частности, может быть пропорциональна этому количеству. Кроме того, в силу ограниченности ресурсов, скорость изменения объектов х пропорциональна выделению ресурсов у (не всегда хватает средств на ремонт всех объектов), т.е. произведению ху. Скорость выделения ресурсов у определяется наличием объектов ремонта х и может считаться пропорциональной х, а также величине ху. Коэффициенты перед ху в обоих случаях в принципе должны быть различными, т.к. выделенные ресурсы могут быть распределены потребителем по своему усмотрению (например, на чрезвычайные и аварийные ситуации).

В математическом виде имеем систему дифференциальных уравнений, описывающую указанные процессы:

= k₁x – kxy; = k¹xy – k₂y (128)

Здесь коэффициенты k – постоянны, а х и y - функции времени t.

Простота модели не только в том, что она двухкомпонентная, но и в том, что мы пренебрегаем другими многочисленными взаимодействиями между количествами х и у, считая указанные основными.

Система (128) нелинейна по причине наличия произведения ху. Стандартный метод решения таких систем состоит в их линеаризации, т.е. в получении стационарных (не зависящих от времени) решений и рассмотрении малых отклонений от стационарного состояния. Поскольку зависимость от времени исключена, то х₀ = const и у₀ = const. Следовательно,

,

и при этом (128) превращается в алгебраическую систему

k₁x₀ – kx₀ y₀ = 0 ,

k¹x₀ y₀ – k₂y₀ = 0.

Отсюда находим

у₀ = , х₀ = .

Теперь ищем решение системы (128) в виде

х = х₀ + α (t), у = у₀ + β(t) . (129)

Подставляем (129) в (128), имеем:

= k₁α – kx₀β - k y₀α – kαβ,

= k¹x₀β+ k¹ y₀α + k¹αβ – k₂β.

Членами kαβ и k¹αβ можно пренебречь, т.к. они содержат произведение двух малых величин, х₀ и у₀ уже найдены. В результате получаем линеаризованную систему:

= - ; = . (130)

Продифференцируем первое уравнение по t и подставим из второго. Получим

= - k₁k₂α . (131)

Продифференцируем второе уравнение из (130) по t и подставим из первого. Получим

= - k₁k₂β . (132)

Уравнения (131) и (132) – стандартные уравнения колебаний. Частота колебания численности жертв и хищников одинакова и равна ω₀ = . С учетом начальных условий получим, что существует сдвиг фаз между гармоническими функциями х(t) и у(t), описывающими численность жертв и численность хищников:

х(t) = х₀ + α (t) = х₀ + Acos (ω₀t + φ₁),

у(t) = у₀ + β(t)= у₀ + Bcos (ω₀t + φ₂).

Эти функции описывают гармонические колебательные процессы около смещенного положения равновесия.