- •Физика колебательных процессов
- •Часть 1
- •Введение
- •1. Требования к выполнению курсового проекта (работы)
- •Организация курсового проектирования (технология выполнения). Структура и содержание курсового проекта
- •1.2. Общие требования к пояснительной записке
- •1.3. Требования, предъявляемые к графической части
- •Методические указания к выполнению курсового проекта (работы)
- •2.1. Исходные положения. Теория и типовые задачи в пояснительной записке
- •2.1 1. Гармонические колебания
- •2.1.2. Математический маятник
- •2.1.3. Пружинный маятник
- •2.1.4. Комбинированные осцилляторы
- •2.1.5. Колебания в электрических цепях
- •2.1.6. Колебания в электростатическом поле
- •2.1.7. Колебания в магнитном поле
- •2.1.8. Вынужденные колебания. Резонанс
- •2.1.9. Рекомендации по решению задач
- •2.1.10. Сложение колебаний
- •2.1.11. Затухающие колебания
- •2.1.12. Релаксационные колебания
- •2.1.13. Вынужденные колебания. Резонанс смещений, скоростей и ускорений
- •2.1.14. Ангармонический осциллятор
- •2.1.15. Модулированные колебания
- •2.1.16. Энергетический подход к нахождению периода колебаний
- •2.1.17. Добротность
- •2.1.18. Фазовые траектории
- •2.1.18 А. Свойства фазовых траекторий
- •2.1.19. Спектры колебаний
- •2.1.20. Нелинейные колебания
- •Содержание
2.1.14. Ангармонический осциллятор
Если в выражении для восстанавливающей силы (см. рис. 2) учесть член второй степени в х, то уравнение движения принимает вид
х11 + ω02х = αх2 (90)
Это линейное уравнение называется уравнением ангармонического (нелинейного) осциллятора. Его можно решать методом разложения по малому параметру, каковым может быть начальное смещение или начальная скорость. Решение ищем в виде х = х1 + х2, где х1 и х2 находим из уравнений
х1 11 + ω02х1 = 0, х2 11 + ω02х2 = αх1 2.
Решением первого уравнения при нулевой начальной скорости и начальном смещении a будет функция x1 = a cos ω0t, в которой величину a будем считать малым параметром. Подставляя x1 во второе уравнение, решаем получившееся неоднородное уравнение для функции x2 (t), которая уточняет решение x1 (t) появлением колебания удвоенной частоты 2 ω0.
Рис. 22. Резонансные кривые для резонанса смещений, скоростей и ускорений. Фазовые соотношения
2.1.15. Модулированные колебания
Если на осциллятор воздействует негармоническая периодическая сила, то, разложив ее в ряд Фурье, определяем реакцию осциллятора на каждую Фурье-компоненту (гармонику), а затем производим сложение всех полученных реакций. В результате
x(t) = cos(ωi t - I ). (91)
Это допустимо в силу линейности исходного дифференциального уравнения колебаний.
Сигнал, поступающий на осциллятор, может быть промодулирован по амплитуде, т.е. вынуждающее воздействие имеет вид
x = А cos(ωt - ),
где, в свою очередь, амплитуда А изменяется также по гармоническому закону, но с меньшей частотой:
А = а(1 + к cos t). (92)
Данное сложное колебание разложимо на три гармоники с центральной несущей частотой ω, и с боковыми суммарной ω + , и разностной ω - частотами, причем амплитуды боковых частот одинаковы. Множитель к – параметр, характеризующий глубину модуляции, на амплитуду несущей гармоники не влияет. В результате усиления этих трех компонент при их взаимодействии с осциллятором изменяются их амплитуды и фазы. В результате на выходе мы будем иметь искаженный суммарный сигнал. Степень искажения модулированного сигнала после усиления тем больше, чем острее резонансная кривая осциллятора. Таким образом, мы имеем техническое противоречие: для получения больших коэффициентов усиления необходима острая резонансная кривая, а для минимальных искажений сигнала в процессе усиления необходимо сохранение пропорций хотя бы между амплитудами, т.е. широкая резонансная кривая с мальм усилением. На практике ищется компромисс между этими требованиями.
Дальнейший анализ данной задачи такой же, как и для гармонического воздействия на осциллятор.
Рассмотренная задача замечательна еще в одном отношении. В ней рассмотрены колебания, которые совершаются не по гармоническому закону. Однако, если фаза меняется гораздо быстрее, чем амплитуда, то они будут «почти гармоническими». Обобщая, любое выражение вида x(t) = A(ω1t) cos (ω2t) , где ω1 ω2 , может рассматриваться как приблизительно гармоническое. Можно дать еще одно определение амплитуды негармонических колебаний: амплитуда – это выражение, стоящее перед гармонической функцией и медленно меняющееся со временем по сравнению с фазой.