Решение проблемы.

Последние результаты в теории полей классов выкристаллизовались постепенно в результате работ самого Гильберта, Такаги, Чеботарёва, Артина, Хассе, Шевалле, Накаяма, Хохшильда, А. Вейля, Тэйта и ряда других исследователей. Теория Вебера и Такаги и работа Гекке до последнего времени составляли всё, что было известно о второй части проблемы Гильберта. В 1955 г. появились работы А. Вейля, Г. Шимуры и И. Таниямы, в которых теория комплексного умножения обобщалась на многомерный случай абелевых многообразий с «большим» кольцом эндоморфизмов. В этой связи нужно отметить ещё статью Любина и Тэйта.

Гильберт придаёт исключительное значение аналогии между алгебраическими числами и алгебраическими функциями и предлагает искать на этом пути общую формулировку закона взаимности для -х степеней. Эта задача была решена И. Р. Шафаревичем.

Полностью двенадцатая проблема Гильберта в её исходной постановке не решена до сих пор.