Илларионова Кристина, мм-11 Доклад на тему: "распределение простых чисел"

Известно, что простые числа расположены в натуральном ряду крайне неравномерно. С одной стороны, существует много простых чисел-близнецов (простые числа, отличающиеся друг от друга на 2 единицы), среди которых есть и очень большие, например, такая пара:242206083 ∙ 2²³⁸⁸⁸⁰ − 1,   242206083 ∙ 2²³⁸⁸⁸⁰ + 1.

С другой стороны, натуральный ряд содержит длинные участки, состоящие только из составных чисел. Так, среди сотни чисел 1671800, ... , 1671900 нет ни одного простого. Вообще, не трудно показать, что в натуральном ряду имеются сколько угодно большие отрезки, не содержащие простых. Действительно, последовательностьn! + 2, n! + 3, ... , n! + nсодержит только составные числа и, очевидно, может быть сколько угодно длинной при достаточно большом n.

Основная проблема распределения простых чисел заключается в том, что до сих пор не известно какой-либо практически полезной формулы для n-го простого числа pn, с помощью которой по заданному номеру n можно найти само число pn. Поэтому главной задачей распределения простых чисел в настоящее время считается нахождение оценок или наилучшего асимптотического выражения для pn, или для функции их распределения π(x), равной количеству простых, не превосходящих заданного вещественного числа x.

Поясним сказанное. Обозначим ∏(an, x) количество членов положительной последовательности an, не превосходящих вещественного x. Не трудно, например, найти количество нечётных чисел ∏(2n − 1, x), равное [(x + 1)/2] или количество квадратов ∏(n2, x), равное [√x]. Легко убедиться, что эта задача сводится к решению относительно n уравнений 2n − 1 = x, n2 = x, соответственно, и последующему взятию целой части. Для случая ∏(pn, x) = π(x) получим уравнение pn = x, точное решение которого относительно n не найдено, поскольку не известны сколько-нибудь пригодные практически точные формулы для pn и π(x).

Простые числа, как известно, образуют мультипликативный базис множества натуральных чисел. Проще говоря, любое натуральное число может быть получено перемножением некоторого количества простых чисел и этот набор простых уникален для данного натурального числа — основная теорема арифметики [6]. Этот факт выражает исключительную важность простых чисел для арифметики и, следовательно, для математики в целом.

Многие вопросы, относящиеся к простым числам, помимо собственно теории чисел, тесно связаны со многими труднейшими, до настоящего времени (2011г) не решёнными, проблемами из различных областей математики, такими, как гипотеза о нулях дзета-функции Римана и задача об эквивалентности алгоритмической сложности классов P и NP. Обе эти задачи входят в список семи так называемых «проблем тысячелетия», за доказательство каждой из которых Институт математики Клея (Clay Mathematics Institute, Кембридж, Массачусетс, США) обещает выплатить приз в размере 1000000 долларов.

Кроме этого, в последнее время, с развитием компьютерной техники и Интернета, проблема распределения простых чисел приобрела и важное практическое значение поскольку она напрямую связана с надежностью так называемых криптографических систем с открытым ключом, которые используются при передаче секретной информации по открытым каналам связи. Однако, мы любим простые числа не за это.