Решение проблемы.

Трансцендентность чисел вида при алгебраическом , и алгебраическом иррациональном была впервые доказана в 1934 г. А. О. Гельфондом и несколько позднее Т. Шнейдером. Общая проблема отсутствия алгебраических соотношений с целыми коэффициентами между числами вида при прежних предположениях относительно и не решена на момент 1969 года. Некоторые частные случаи этой проблемы с помощью существенного усиления прежних методов были решены в 1949 г. А. О. Гельфондом. Не решена также проблема отсутствия алгебраических соотношений с целыми коэффициентами между логарифмами алгебраических чисел, исключая случай однородного соотношения между двумя логарифмами (на момент 1969 года). Эта проблема представляет большой интерес с точки зрения возможных приложений в области других числовых задач, в частности решения уравнений в целых числах.

Таким образом, седьмая проблема Гильберта полностью решена.

Двенадцатая проблема Гильберта.

Распространение теоремы Кронекера об абелевых полях на произвольную алгебраическую область рациональности.

Выдержка из доклада Гильберта, посвящённая двенадцатой проблеме:

«Кронекером доказана теорема о том, что каждое абелево числовое поле в области рациональных чисел вкладывается в поле корней из единицы. Так как простейшей после области рациональных чисел является комплексная квадратичная числовая область, то возникает задача доказать и для этого случая теорему Кронекера. Доказательство предположения Кронекера до сих пор не найдено. Тем не менее, я считаю, что оно может быть проведено без особых трудностей на основе теории комплексного умножения, развитой Вебером, и с учётом доказанных мною чисто арифметических теорем о классах полей. И, наконец, исключительное значение я придаю распространению теоремы Кронекера на тот случай, когда вместо области рациональных чисел или комплексной квадратичной области в основу кладётся произвольное алгебраическое числовое поле в качестве области рациональности. Я считаю эту проблему одной из наиболее глубоких и далеко ведущих проблем теории функций.

Термины

В теории алгебраических чисел теорема Кронекера — Вебера, названная в честь Леопольда Кронекера и Генриха Мартина Вебера утверждает, что каждое конечное абелево расширение поля рациональных чисел  , или другими словами, каждое алгебраическое числовое поле, чья группа Галуа над   является абелевой, — является подполем некоторого кругового поля, то есть поля, полученного присоединением корня из единицы к рациональным числам.

Кронекер осуществил основную часть доказательства в 1853 году, Вебер в 1886 году и Гильберт в 1896 году заполнили некоторые логические пробелы. Теорема может быть доказана прямыми алгебраическими построениями, но она также является простым следствием теории полей классов.

Для заданного абелевого расширения   поля   можно определить минимальное круговое поле, содержащее  . Для заданного   можно определить наименьшее целое число  , что  является подполем, поля порождённого корнем из единицы  -й степени. Например, для квадратичных полей таким числом является абсолютная величина их дискриминанта.

Алгебраи́ческое число́ над полем   — корень многочлена (не равного тождественно нулю) с коэффициентами из  . Если поле не указывается, то предполагается поле рациональных чисел, то есть  , в этом случае поле алгебраических чисел обычно обозначается  . Поле   является подполемполя комплексных чисел.

Абелева или коммутативная группа есть группа, в которой групповая операция является коммутативной; то есть группа   абелева если   для любых двух элементов  .

По́лем называется множество F с двумя бинарными операциями   (аддитивная операция, или сложение) и   (мультипликативная операция, или умножение), если оно (вместе с этими операциями) образует коммутативное ассоциативное кольцо c единицей  , все ненулевые элементы которого обратимы.

Иными словами, множество F с двумя бинарными операциями   (сложение) и   (умножение) называется полем, если оно образует коммутативную группу по сложению, все его ненулевые элементы образуют коммутативную группу по умножению, и выполняется свойство дистрибутивности.

Характеристика поля — наименьшее положительное целое число   такое, что сумма   копий единицы равна нулю:      Если такого числа не существует, то характеристика равна   по определению.

Подполем поля   называется подмножество, которое само является полем относительно операций сложения и умножения, заданных в  . (Подполем поля   называется поле относительно операций умножения и сложения, заданных в  , несущим множеством которого является подмножество несущего множества  )

Расширение поля — поле, содержащее данное поле в качестве подполя.

Поле Галуа — поле, состоящее из конечного числа элементов.

Простое поле — поле, не содержащее собственных подполей.

Примеры множеств, являющихся полями:

 — рациональные числа,

 — вещественные числа,

 — комплексные числа,

 — поле вычетов по модулю  , где   — простое число.

 — конечное поле из   элементов, где   — простое число,   — натуральное.

 — поле рациональных функций вида  , где   и   — многочлены над некоторым полем   (при этом  , а   и   не имеют общих делителей, кроме констант).

Числа вида  ,  , относительно обычных операций сложения и умножения.

Пусть поле K является нормальным расширением поля P. Взаимно однозначное отображение S поля K на себя называется автоморфизмом, если оно сумму переводит в сумму, а произведение — в произведение, то есть если для любых элементов  ,   поля K справедливы равенства:

;  .

Группой Галуа для данного расширения поля называется совокупность всех автоморфизмов поля K, сохраняющих элементы поля P:  . Обозначение: G(K,P) или Gal(K,P).

Свойства

Группа Галуа всегда конечна. Её порядок (число элементов) равен степени расширения K:P.

Корни n-й степени из единицы — комплексные корни многочлена  . Другими словами, это комплексные числа,  -я степень которых равна 1.

Представим комплексную единицу в тригонометрическом виде:

Тогда по формуле Муавра, получим:

Здесь   — корни из единицы.

Корни из единицы могут также быть представлены в показательной форме:

Из этих формул вытекает, что корней из единицы всегда ровно  , и все они различны.

В абстрактной алгебре изоморфизмом называется биекция, которая является гомоморфизмом. Ниже приводятся несколько примеров.

Группы

Пусть   и   — две группы. Биекция   называется изоморфизмом, если для любых 

.

Если группа является топологической, добавляется условие гомеоморфности соответствующих топологических пространств.[1]

Поля

Пусть   и   — поля. Биекция   называется изоморфизмом, если для любых   выполняется

,

.

Биекция — это отображение, которое является одновременно и сюръективным, и инъективным. При биективном отображении каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества, при этом, определено обратное отображение, которое обладает тем же свойством. Поэтому биективное отображение называют ещё взаимно-однозначным отображением (соответствием), одно-однозначным отображением.

Если между двумя множествами можно установить взаимно-однозначное соответствие (биекция), то такие множества называются равномощными. С точки зрения теории множеств, равномощные множества неразличимы.

Взаимно-однозначное отображение конечного множества в себя называется перестановкой (элементов этого множества).

Гомоморфизм (от др.-греч. ὁμός — равный, одинаковый и μορφή — вид, форма) — это морфизм в категории алгебраических систем. Это отображение алгебраической системы А, сохраняющее основные операции и основные соотношения.

Например, рассмотрим группы  ,  . Отображение   называется гомоморфизмом групп   и  , если оно одну групповую операцию переводит в другую:  .