Седьмая проблема Гильберта. Иррациональность и трансцендентность некоторых чисел.
Одна из 23-х задач, которые Давид Гильберт предложил 8 августа 1900 года на II Международном конгрессе математиков. Задача связана с доказательством и изучением трансцендентности и иррациональности некоторых чисел.
Выдержка из доклада Гильберта, посвящённая седьмой проблеме:
«Арифметические теоремы Эрмита о показательной функции и их развитие, выполненное Линдеманном, несомненно, останутся удивительными для математиков всех поколений. Но сейчас же появляется задача — пойти по проложенному пути дальше, как это уже сделал Гурвиц в своих двух интересных исследованиях «Об арифметических свойствах некоторых трансцендентных функций». Я хотел бы поэтому указать класс задач, на которые, по-моему, следовало обратить внимание как на ближайшие в этом направлении. Когда мы узнаем, что некоторые специальные трансцендентные функции, играющие в анализе существенную роль, принимают при определённых алгебраических значениях аргумента алгебраические же значения, то это обстоятельство кажется нам особенно удивительным и достойным дальнейшего исследования. Мы всегда ждём, что трансцендентные функции при алгебраических значениях аргументов принимают, вообще говоря, трансцендентные значения, и хотя нам хорошо известно, что существуют даже такие целые трансцендентные функции, которые для всех алгебраических значений аргумента принимают рациональные значения, мы всё же считаем очень вероятным, что такая функция, как, например, показательная e, которая, очевидно, для всех рациональных значений аргумента z принимает алгебраические значения, с другой стороны, будет всегда принимать для всех алгебраических иррациональных значений z трансцендентные значения. Этому высказыванию можно придать и геометрический облик следующим образом. Если в равнобедренном треугольнике отношение угла при основании к углу при вершине есть алгебраическое, но не рациональное число, то отношение основания к боковой стороне есть трансцендентное число. Несмотря на простоту этого предложения, а также на его сходство с задачами, решёнными Эрмитом и Линдеманном, его доказательство представляется мне исключительно трудным, так как же и доказательство того, что степень α при алгебраическом основании α и алгебраическом иррациональном показателе β — как, например, число или e = i — есть всегда или трансцендентное число, или по крайней мере иррациональное. Можно быть уверенным, что решение этой и аналогичных проблем должно привести нас к новым точкам зрения на существо специальных иррациональных и трансцендентных чисел».
Термины Иррациональные числа
Рассмотрим
цепочку
.
Действительных чисел "больше" чем рациональных, потому что счетно, а - несчетно. Значит, существуют иррациональные (не являющиеся рациональными) действительные числа. (На самом деле, иррациональных чисел "намного больше" чем рациональных, и если случайным образом бросить точку на числовую прямую, она почти наверняка попадет в иррациональное число.)
Заметим, что мы доказали теорему существования иррациональных чисел, не предъявив ни одного иррационального числа.
Но
совсем нетрудно привести и пример
иррационального числа, например, это 
.
Действительно, пусть это число рационально.
Тогда его можно представить в виде
несократимой дроби:
=
,
где p и q --- целые числа, не имеющие общих делителей (кроме 1). Возведя это равенство в квадрат, получим
2q2=p2.
Значит, p2 четно, p*p делится на 2. Поэтому p делится на 2, а значит, p2 делится на 4. (Если p=2p1, то p2=4p12.) Тогда
2q2=4p12, q2=2p12.
Это означает, что q2 делится на 2, поэтому и q делится на 2.
Мы получили, что и p, и q делятся на 2, и дробь можно сократить на 2. Но мы же предполагали, что эта дробь несократима! Полученное противоречие означает, что 2 не может быть рациональным числом.
Итак, - число иррациональное.
Конечно, когда мы доказали иррациональность числа , мы тем самым еще раз доказали теорему существования иррациональных чисел. Однако существуют и такие классы чисел, доказать существование которых намного проще, чем построить конкретный пример.