Вопросы для дальнейшей работы

Вопрос 7.31. Используя понятие критического избирателя, напи- шите новые определения терминов диктатор, право вето и пустыш- ка, которые мы впервые ввели в определении б.ю. Затем сделайте то же самое, используя понятие ключевого избирателя.

Вопрос 7.32. (а) Чему должна быть равна сумма индексов Бан- цафа для всех избирателей в избирательной системе типа да/нет?

(б) Изменился ли бы ваш ответ на пункт (а), если бы вместо ин- декса Банцафа вы использовали индекс Шепли—Шубика? Почему?

Вопрос 7.33. Вычислите индексы Банцафа и Шепли—Шубика для каждого из трех акционеров Captain Ahab's Fish & Chips, но в этот раз предположите, что квота системы равна ioi. Затем повторите ваши вычисления в предположении, что квота равна 105.

Вопрос 7.34. i. Найдите индекс Банцафа для каждого из избира- телей в избирательной системе с весом [65: 30, 28, 22,15, 13].

2. Заметим, что если в избирательной системе с весом, принятой наблюдательным советом округа Нассау в 1994 г. (см. вопрос 7.8), рай- оны Лонг-Бич и Глен-Коув договорятся всегда голосовать одинаково (оба за или оба против любого предложенного запроса), то избира-

тельная система наблюдательного совета будет эквивалентна системе из пункта (а). Помня об этом, используйте ваши ответы на пункт (а), чтобы изучить каждый из следующих вопросов:

• Если районы Лонг-Бич и Глен-Коув договорятся всегда голосовать одинаково, то к какому эффекту приведет суммирование их ин- дексов Банцафа: будет ли это выгодно, невыгодно, или безразлич- но для этих районов?

• Повлияет ли такая договоренность на индексы Банцафа других районов?

• Не показалось ли вам что-нибудь странным или необычным в ва- ших ответах? Объясните ваш ответ.

Вопрос 7.35. Вычислите индекс Шепли—Шубика для каждого из шести районов в избирательной системе с весом, принятой наблю- дательным советом округа Нассау в 1994 г. (см. вопрос 7.8). Как ито- говые индексы Шепли—Шубика соотносятся с индексами Банцхафа, которые вы вычислили для этой же системы в пункте (а) вопроса 7.8? Как вы думаете, какой индекс лучше выражает то, как в действитель- ности распределена влиятельность в системе? Объясните ваш ответ.

Вопрос 7-36. Напишите краткую биографию Джона Ф. Банца- фа III, включите в нее академические должности, которые он зани- мал, и сведения о его самых заметных судебных процессах.

Вопрос 7.37. Напишите краткие биографии Ллойда Шепли и Мартина Шубика, включите в них описание, где они встретились, где они работали и когда они пришли к идее своего индекса, а также другие заметные их достижения в области теории голосования и вне ее.

Вопрос 7.38. Числа, которые мы обозначили (, ), часто называ-

ют биномиальными коэффициентами. Исследуйте смысл этого назва- ния и напишите отчет о ваших изысканиях. Включите в него описа- ние хотя бы одного из математических приложений биномиальных коэффициентов вне теории голосования.

Вопрос 7.39. В комбинаторике величина ся по формуле

_о

часто определяет-

совершенно совместимо с

Вопросы для дальнейшей работы

149

Вопрос 7.40. В комбинаторике хорошо известен факт, что для любого значения п

(о) + © + + („"->(")'=>"•

Объясните, не вычисляя, почему это равенство справедливо в общем случае. (Подсказка. Объясните, как две части этого уравнения можно рассматривать как два различных способа подсчитать одно и то же значение.)

Вопрос 7.41. Напомним, что из вопроса 6.13 мы знаем, что из- бирательную систему, используемую для принятия решений в Совете безопасности ООН, можно считать избирательной системой с весом [39 • 7, 7, 7, 7, 7,1,1,1, i, i, i, i, i, i, i]. Найдите индексы Банцафа и Ше- пли—Шубика для каждого избирателя в этой системе.

Вопрос 7.42. Вспомните избирательную систему из вопроса 6.27, используемую для принятия поправок в конституцию Канады. Найди- те индекс Банцафа для каждого избирателя в этой системе (для десяти канадских провинций), и прокомментируйте то, что в вашем резуль- тате кажется вам странным или необычным.

Вопрос 7.43. Напомним, что из вопроса 6.38 мы знаем, что из- бирательную систему, используемую для принятия решений в город- ском совете Фресно, Калифорния, можно считать избирательной си- стемой с весом [5 : 2, i, 1, 1,1, 1, 1]. Найдите индексы Банцафа и Шеп- ли—Шубика для каждого избирателя в этой системе.

Вопрос 7.44. Напомним, что из вопроса 6.39 мы знаем, что из- бирательную систему, используемую для общенационального приня- тия решений типа да/нет в Австралии, можно считать избирательной системой с весом [5 : 3,1,1,1,1,1,1]. Найдите индексы Банцафа и Ше- пли—Шубика для каждого избирателя в этой системе.

Вопрос 7.45. Предположим, что в федеральной системе Психо- зии штаты Блаженство и Неведение слились в один штат Просвещен- ность. (В этом случае неведение — это действительно блаженство!). Как вы думаете, какие изменения должны произойти в избиратель- ной системе, используемой федеральным правительством Психозии? Если эти изменения произойдут, то какой станет влиятельность насе- ления Просвещенности: больше, меньше или такой же, как до слия- ния?

Вопрос 7-4б. Изучите избирательную систему, которая исполь- зовалась Европейским Экономическим Сообществом (ЕЭС). Оно бы-

ло образовано в 1958 г. и было предшественником Европейского Со- юза (см. вопрос 6.40). Найдите индексы Банцафа и Шепли—Шубика для всех избирателей в избирательной системе, которая использо- валась ЕЭС. Объясните несоответствия между этими индексами, и прокомментируйте то, что показалось вам странным или необычным в распределении влиятельности внутри ЕЭС.

Вопрос 7.47. Найдите книгу или статью, в которой приводятся индексы Банцафа или Шепли—Шубика для каждого избирателя в федеральной системе США, и напишите отчет о ваших изысканиях. Включите в него ответы по крайней мере на следующие вопросы. Приведено ли в этой книге или статье описание того, как прово- дились вычисления? Как вы думаете, аккуратно ли индексы пред- ставляют действительное распределение влиятельности в системе? Не кажется ли вам странным или необычным что-нибудь в этих индексах? (Замечание. Всего в этой системе 537 избирателей — юо се- наторов, 435 представителей, президент и вице-президент.)

Вопрос 7.48. Кроме индексов влиятельности Банцафа и Шеп- ли—Шубика есть некоторые другие методы, позволяющие измерять распределение влиятельности в заданной избирательной системе. Среди наиболее общеупотребительных назовем индексы Дигена— Пакела и Джонстона. Изучите оба этих индекса и напишите подроб- ный отчет о ваших изысканиях. Включите в него сравнение этих индексов друг с другом и с индексами Банцафа и Шепли—Шубика, а также значение индексов Дигена—Пакела и Джонстона для каждого из шести районов в избирательной системе с весом из вопроса 7.8.