Индекс влиятельности Шепли—Шубика

Второй индекс влиятельности, который мы рассмотрим, назван именами экономистов Ллойда Шепли и Мартина Шубика. Впервые они предложили свой индекс в 1954 г., на одиннадцать лет раньше, чем Банцаф предложил свой. Мы рассмотрели индекс Банцафа пер- вым, поскольку индекс Шепли—Шубика чуть сложнее вычислять, а его математические основания несколько изощреннее.

Взгляды Шепли и Шубика на то, как распределено влияние в из- бирательных системах, были основаны на понятии ключевых изби- рателей, а не на понятии критических избирателей. Шепли и Шубик считали, что коалиции в избирательных системах формировались по- следовательно. Сначала в нее входил один избиратель, затем к нему присоединялся другой, вслед за ним третий и так далее. В предполо- жении, что члены присоединяются к коалиции в некотором порядке, имеет смысл говорить о том, какой избиратель первым дает коали- ции достаточный вес, чтобы превратить ее из проигрывающей в по- беждающую. Именно этого единственного избирателя в побеждаю-

щей (упорядоченной) коалиции мы будем называть ключевым изби- рателем для этой коалиции \ Эта терминология более точно вводится в следующем определении.

Определение 7.9. Следующие понятия определены для всех из- бирательных систем типа да/нет.

• Для некоторого упорядоченного списка (или упорядочения) всех избирателей системы мы говорим, что избиратель v клю- чевой, когда выполняются оба следующих условия:

• Если каждый из избирателей, предшествующих v в списке, про- голосовал за принятие запроса, a v и все избиратели после него проголосовали за отклонение, то запрос будет отклонен.

• Если v и все избиратели, предшествующие v в списке, проголо- совали за принятие запроса, а все избиратели после v проголо- совали за отклонение, то запрос будет принят.

• Для избирателя влиятельность Шепли—Шубика равна числу упо- рядоченных списков всех избирателей в системе, для которых этот избиратель ключевой.

• Для системы общая влиятельность Шепли—Шубика равна обще- му числу списков всех избирателей в системе.

• Для избирателя индекс влиятельности Шепли—Шубика равен вли- ятельности Шепли—Шубика для этого избирателя, деленной на общую влиятельность Шепли—Шубика для системы.

Возможно, вам будет интересно заметить, что в определении индекса влиятельности Шепли—Шубика вовсе не упоминаются по- беждающие коалиции. Причина в том, что когда мы хотим вычис- лить индекс Шепли—Шубика, мы обычно просто рассматриваем все возможные способы упорядочить избирателей системы, а затем определяем единственного ключевого избирателя в каждом таком упорядоченном списке. Мы можем делать это, так как каждая после- довательно формируемая коалиция превращается из проигрывающей в побеждающую с увеличением числа членов в ней. Таким образом, рассматривая все возможные упорядоченные списки избирателей, мы найдем все (упорядоченные) побеждающие коалиции. Такой образ действия удобен по многим причинам, одна из которых состоит в том, что мы легко можем определить общее число упорядоченных списков избирателей в системе, используя простую формулу, которую вскоре найдем.

¹ Заметим, что это определение полностью согласуется с тем, как мы использовали термин ключевой избиратель в нашем доказательстве теоремы Эрроу в гл. 5.

Но для начала один пример. Давайте посмотрим, чему оказыва- ется равным индекс Шепли—Шубика для трех акционеров Captain Ahab's Fish & Chips.