Вопрос 2.36. Как мы сказали в вопросе 2.35, лучшие игроки выс- шей бейсбольной лиги выбираются в конце каждого сезона группой

спортивных обозревателей с использованием модификации правила Борда. Изучите результаты голосования за лучшего игрока американ- ской лиги после окончания бейсбольного сезона 2001 г. и выясните, был бы результат тем же самым, если бы правило Борда был в точно- сти таким, какой мы определили в этой главе.

Вопрос 2.37. Выясните, как проходит голосование на приз Хай- смана и запишите подробный отчет о ваших изысканиях. Включите в него информацию по крайней мере о том, за что присуждается приз Хайсмана, кто голосует, как проводится голосование, и какая точно избирательная система используется для определения победителя. Кроме того, используйте результаты голосования 1956 г. для того, что- бы проиллюстрировать вычисления, нужные для этой избирательной системы, и прокомментируйте то, что в этих результатах кажется вам удивительным или необычным.

Вопрос 2.38. Найдите журнал, газету или сайт в Интернете, где описан пример, не из области спорта, когда для принятия какого-то решения или построения рейтинга используется правило Борда (или какая-нибудь его модификация). Напишите отчет о ваших изыскани- ях, в который войдет название источника, результат примера, и опи- сание того, как в этом примере был использовано правило Борда.

Ответы на вопросы

2.2. (а) В выборах, в которых участвуют только два кандидата, один из них не может получить голосов больше, чем другой, если не наберет больше половины голосов. Точно так же, один из кандидатов не может набрать больше половины голосов, если не получит больше голосов, чем другой кандидат. В противном случае число голосов должно было бы превышать число проголосовавших.

(б) В выборах, в которых участвуют больше двух кандидатов, один из них может набрать голосов больше, чем любой другой кандидат, однако не набрать больше половины всех поданных голосов. Приме- ром такой ситуации служат выборы президента США 2000 г. в штате Флорида.

2.4. (а) Правило большинства приводит к ничейному результату, когда ни один из кандидатов не набирает больше половины голосов избирателей. А для того, чтобы правило относительного 6< льшинства привело к ничьей, необходимо, чтобы не меньше двух кандидатов на- брали в точности одинаковое число голосов и оно было бы больше, чем число голосов, набранное любым из оставшихся кандидатов. Та-

Ответы на вопросы

47

ким образом, правило относительного большинства с большей веро- ятностью приводит к ничейному результату.

(б) Для того, чтобы победить в выборах согласно правилу боль- шинства, кандидат должен набрать больше половины голосов изби- рателей. Поскольку при этом ни один из других кандидатов не может получить больше половины голосов, то кандидат, которому удалось это сделать, обязательно собирает больше голосов, чем любой другой кандидат. Значит, ему гарантирована победа и в случае, когда приня- то правило относительного большинства.

(в) Победитель в выборах согласно правилу относительного боль- шинства не обязательно выигрывает согласно правилу большинства. Например, хотя Джордж В. Буш победил на выборах президента США 2ооо г. во Флориде согласно правилу относительного большинства, он не мог бы одержать победу согласно правилу большинства, поскольку не набрал больше половины голосов.

6. Набрав большинство (26 из 50) голосов за первое место, Nebraska должна была бы возглавить рейтинг.

7. (а) Поскольку есть три возможности для первого места, две возможности для второго места (его займет один из двух кандидатов, которые не стали первыми), и только одна возможность для третьего места (это будет тот кандидат, который не стал ни первым, ни вто- рым), то всего оказывается 3x2x1 = 6 различных способов проран- жировать кандидатов.

(б) Из шести возможных ранжировок две приведены в тексте, а четыре оставшихся перечислены в таблице ниже:

Место	#1	#2	#3	#4
i 2 3	Гор Буш Нейдер	Гор Нейдер Буш	Нейдер Буш Гор	Нейдер Гор Буш

В сокращенном виде это записывается так:

i: Г^Б^Н; 3: Н ^ Б ^ Г; 2:Г^Н^Б; 4:Н^Г>-Б.

(в) Здесь применимы те же рассуждения, что и в пункте (а). Для четырех кандидатов имеется 4x3x2x1 = 24 различных способа проранжировать кандидатов.

(г) После того, как я определился с выбором кандидата на первое место, остается 3x2x1 = 6 различных способов проранжировать оставшихся трех кандидатов.

2.8. (а) Согласно правилу большинства выборы закончатся ни- чьей (и победителя в них не будет), поскольку ни один из кандидатов не набрал больше половины голосов за первое место.

(б) Согласно правилу относительного большинства, победит Фи- лиц, поскольку он набрал больше голосов за первое место (12), чем любой другой из трех оставшихся кандидатов.

(в) Правило относительного большинства приводит к такому об- щественному порядку предпочтений: Ф >- Д >- Э >- И.

2.12. Результаты выборов президента США 2000 г. в штате Фло- рида не доказывают, что метод относительного большинства нару- шает критерий большинства. Критерий большинства гласит, что если кандидат получает на выборах больше половины голосов, то он дол- жен быть объявлен победителем. Однако в нем не утверждается, что если кандидат набрал меньше половины голосов, то его нельзя объ- явить победителем. В действительности, метод относительного боль- шинства удовлетворяет критерию большинства. А как следует из во- проса 2.4, победитель по правилу большинства обязательно победит и согласно методу относительного большинства.

2.15. В соответствии со сводкой предпочтений из вопроса 2.8, Фи- лиц набрал 12 голосов за первое место, о —за второе, 5 —за третье ию-за последнее. Поскольку в выборах участвуют 4 кандидата, го- лоса за первое место приносят по три очка, за второе — по два, за тре- тье—по одному, а за последнее очки не начисляются. Таким образом, Филиц набирает (12 х 3) + (о х 2) + (5 х i) + (10 х о) = 41 очко. Ана- логичные вычисления показывают, что Джеральд набирнч- \8 очков, Элен —47, а Иван —26. Значит, согласно правилу Борда* победит Дже- ральд, а итоговый общественный порядок предпочтений («удет таким: Д >- Э >- Ф >• И.

2.20. (а) Поскольку все избиратели поменяли местами > и И в сво- их списках предпочтений, по свойству нейтральности в итоговом об- щественном порядке предпочтений Э и И тоже должны поменяться местами, откуда получаем И >- Ф >- Д >- Э.

(б) Хотя все избиратели поменяли местами Э и И ^писках

предпочтений, три избирателя из последнего столбца по ищи, поме- няли местами еще и Ф и Д. Поскольку нейтральное п ' у * м вливает изменения в итоговом общественном порядке предпочтений только если все избиратели меняют местами одних и тех же кандидатов, мы

Ответы на вопросы

49

не можем сделать выводы о том, каким будет новый общественный порядок предпочтений в этом случае.

(в) Вначале заметим, что сводка предпочтений табл. 2.5 отлича- ется от табл. 2.4 только тем, что поменялись местами Ф и Д в спис- ках предпочтений трех избирателей, представленных в последнем столбце таблиц (это изменение благоприятно только для Ф). Из пунк- та (а) мы знаем, что сводка предпочтений из табл. 2.4 дает такой общественный порядок предпочтений: И >~ Ф >- Д >- Э. Поскольку сводка предпочтений табл. 2.5 может быть получена из сводки табл. 2.4 путем изменений, только благоприятных для Ф (и неблагоприятных для Д), по свойству монотонности в итоговом порядке предпочте- ний Ф останется впереди Д и Э. Однако существует много порядков общественных предпочтений, совместимых с этими требованиями. Например, И ^ Ф ^ Д >- Э, Ф>-И^Д>-Эи даже немного странный Ф >- И >- Э >- Д. (Заметьте обратный порядок Д и Э в последнем случае.)

*4 лист, Матем. выборов

Глава @

Снова в бой

Центральные вопросы

• В чем состоит критерий победителя по Кондорсе? Какие избирательные системы ему удовлетворяют, а какие — нет?

• Что такое последовательное попарное голосование, и как работает эта си- стема?

• Что такое система единственного передаваемого голоса? Как она работает, и где обычно применяется?

• В чем состоят некоторые преимущества и недостатки последовательного попарного голосования и системы единственного передаваемого голоса?

Вопрос-разминка 3.1. Предположим, что Скип, Норм и Джесс борются за место президента «Клуба го ооо озер», и что списки пред- почтений всех юо членов клуба в точности такие, как показано в табл. 3.1.

(а) Каким будет результат выборов согласно правилу большинства?

(б) Каким будет результат выборов согласно правилу относитель- ного большинства?

(в) Каким будет результат выборов согласно правилу Ьордй?

(г) Кого из кандидатов назвали первым наибольшее число прого- лосовавших?

(д) Кого из кандидатов назвали последним наибольшее число проголосовавших?

(е) Кто победил бы в борьбе один-на-один: Скип или Норм?

(ж) Кто победил бы в борьбе один-на-один: Скип или Джесс?

(з) Кто победил бы в борьбе один-на-один: Норм или \ к< < с?

(и) Не показалось ли вам что-либо в ответах на пункты (а)—(з) странным или необычным? Объясните ваш ответ.

Как вы, возможно, заметили, выборы из вопроса-ралминни },i об- наруживают некоторые своеобразные черты. Действительно, п;>едпо7 чтения избирателей и результат выборов по правилу относительно- го большинства оказываются противоречащими друг другу. В< v по-

Таблица 3.1

Сводка предпочтений для клуба го ооо озер

	Число избирателей
Место	35	28	20	17
i 2 3	Н С д	С Н Д	д н с	Д с н

бедителя по правилу относительного большинства (Джесса) назвали первым только 37 % голосовавших. Остальные 63 % назвали его по- следним; они, скорее, предпочли бы или Скипа, или Норма. Более то- го, Джесс проиграл бы любому из этих двух в борьбе один-на-один, в выборах с двумя кандидатами. Совершенно ясно: что-то здесь не так. Эти высоколобые математики опять ухитрились найти уродли- вую аномалию! Должно быть, это один из тех надуманных примеров, которые никогда не встречаются в действительности.

А кстати, вам не приходилось бывать в последнее время в Мин- несоте? Возможно, вы слышали об одном из бывших губернаторов, в прошлом профессиональном рестлере и радиоведущем Джесси Вен- туре (Jessy «The Body» Ventura). В 1998 г. Вентура, выступив канди- датом от партии реформистов, одержал ошеломляющую победу над генеральным прокурором Миннесоты Скипом Хамфри (демократом) и мэром Нормом Коулменом (республиканцем) на выборах губерна- тора штата. Вентура победил по правилу относительного большин- ства, набрав 37% голосов избирателей. Это было больше, чем удалось набрать Хамфри или Коулмену по отдельности. В обзорах результатов выборов указывалось, что предпочтения избирателей, по-видимому, были весьма похожи на те, что представлены в табл. 3.1 (при условии, что эти числа представляют собой проценты проголосовавших).

Спустя недели и месяцы после выборов многие политические комментаторы пытались объяснить, как удалось Вентуре победить двух хорошо известных противников, каждый из которых обладал несравненно более богатым политическим опытом. Ведь к тому вре- мени самым большим достижением Вентуры в политике был пост мэра города Бруклин Парк, Миннесота. Многие предполагали (совер- шенно справедливо), что Вентура привлек больше голосов молодых избирателей, чем каждый из двух других кандидатов. Другие счита ли, что известность Вентуры и его харизма помогли ему завоевать голоса тех избирателей, которые не были знакомы с политическими

взглядами всех трех кандидатов. И лишь немногие встали на ту точку зрения, что победа Вентуры могла быть просто следствием принятой избирательной системы — правила относительного большинства.

Последнее соображение интересно нам больше всего. В вопросе- разминке 3.1 мы видели, что альтернатива методу относительного большинства (правило Борда) могла бы привести к такому резуль- тату губернаторских выборов в штате Миннесота в 1998 г., который бы отражал волю избирателей лучше, чем исход по правилу отно- сительного большинства. Но, как мы видели в предыдущей главе, правило Борда тоже не без изъянов; он может нарушать критерий большинства—желаемое свойство, которым обладает даже правило относительного большинства.

Мы начинаем понимать, что определение результатов выборов, в которых участвуют больше двух кандидатов, может быть очень хит- роумной задачей. Имеется множество подводных камней, и нам при- дется с ними повозиться некоторое время, если мы хотим такую зада- чу решить. Этим мы и займемся в настоящей главе. Мы изучим неко- торые новые избирательные системы, а также рассмотрим некоторые новые критерии для оценки этих систем. Будем надеяться, что наши исследования приблизят нас к отысканию разумной избирательной системы, которая всегда работает правильно, даже для выборов, в ко- торых участвуют больше двух кандидатов.