8. Производная. Правила дифференцирования. Таблица производных, Производная сложных функций. Исследование функции с помощью производной.

Определение: производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при (если такой предел существует):

.

Геометрический смысл производной.

Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.

ч

Уравнение касательной к графику функции в точке :

.

Правила нахождения производной.

Если у функций и существуют производные, то

, где

Производная сложной функции.

Если и существуют производные и , то , где индексы и указывают, по какому аргументу берутся производные.

Производные элементарных функций.

Пример. Вычислить производную функции .

Исследование функции с помощью производной.

1. Монотонность

Достаточное условие возрастания функции

Если в каждой точке интервала , то функция возрастает на этом интервале.

Достаточное условие убывания функции

Если в каждой точке интервала , то функция убывает на этом интервале.

2. Экстремумы

Определение. Точка называется точкой минимума функции , если для всех из некоторой окрестности точки выполнено неравенство .

Определение. Точка называется точкой максимума функции , если для всех из некоторой окрестности точки выполнено неравенство .

Для точек максимума и минимума функции принято общее название – точки экстремума функции. Значения в этих точках называют соответственно максимумами ( ) и минимумами ( ) функции.

Необходимое условие экстремума функции

Для того, чтобы функция имела экстремум в точке , необходимо, чтобы производная в этой точке равнялась нулю ( ) или не существовала.

Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума, то есть производная равна нулю или не существует, называются критическими точками. Отметим, что эти точки должны входить в область определения функции.

Таким образом, если в какой-то точке имеется экстремум, то эта точка критическая. Однако, обратное утверждение неверно. Критическая точка вовсе не обязательно является точкой экстремума.

Достаточное условие экстремума функции

Если при переходе через точку производная дифференцируемой функции меняет свой знак с плюса на минус, то точка есть точка максимума функции , а если с минуса на плюс, то точка минимума.

Схема нахождения интервалов монотонности и экстремумов функции

1. Найти область определения функции.

2. Найти производную функции.

3. Найти критические точки.

4. В каждом из интервалов, а которые область определения разбивается критическими точками, определить знак производной и характер изменения функции.

5. Относительно каждой критической точки определить, является ли она точкой максимума, минимума или не является точкой экстремума.

6. Записать результат исследования функции: промежутки монотонности и экстремумы.