6.Тригонометрические преобразования. Таблицы значений основных тригонометрических функций. Обратные тригонометрические функции. Решение простейших тригонометрических уравнений.

Числовая окружность. Радианное измерение углов.

Определение: Числовой единичной окружностью называют окружность , у которой точка - начало отсчета, положительное направление отсчета – против часовой стрелки, единичный отрезок – часть дуги окружности, длина которой равна длине радиуса окружности.

Определение: Один радиан равен центральному углу окружности, длина дуги которого равна радиусу этой окружности.

1 радиан = .

радиана радиана.

М ежду множеством действительных чисел и множеством точек числовой окружности установлено соответствие: каждому действительному числу соответствует точка числовой окружности, что длина дуги равна , а каждая точка окружности соответствует бесконечному множеству чисел вида , - длина одной из дуг, соединяющих точки и . Любая точка на числовой окружности имеет декартовы координаты (рис. 1).

- ордината точки ; ,

- абсцисса точки ; .

Углы в градусах
Углы в радианах

Значение тригонометрических функций некоторых углов.

	0
	0				1	0	-1
	1				0	-1	0
	0		1		-	0	-
	-		1		0	-	0

Основные тригонометрические тождества.

;

; .

Формулы суммы и разности аргументов.

;

;

.

Формулы двойного и тройного аргументов.

; .

Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла.

Если , то

Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение.

;	;
;	;

, где , а определяется из формул ; ;

, где , а определяется из формул ; ;

Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму.

.

Формулы приведения.

Формулы, сводящие значения тригонометрической функции аргумента , , к функции аргумента , называют, обычно, формулами приведения.

Функция	Аргумент
				-	-	-	-
		-	-	-	-
		-	-			-	-
		-	-			-	-

Пример. Найти значение выражения , если .

Решение: .

Ответ: 2.

Пример. Найти значение выражения , если .

Решение: Возведя обе части равенства в квадрат, получим:

Ответ: .

Пример. Вычислить: .

Решение: Используя свойства четности и нечетности тригонометрических функций, а также формулы приведения, преобразуем каждый множитель данного выражения:

;

;

;

.

Следовательно,

.

Ответ: .

Пример. Упростить выражение .

Решение: Применяя формулы приведения, получим:

;

; .

Тогда

.

Ответ: 2.

Пример. Найти значение выражения , если и .

Решение: так как , то и .

Ответ: -2.

Пример. Найти значение выражения , если и .

Решение: распишем значение и посмотрим, чего не хватает для вычисления:

.

Видно, что надо найти . Так как по условию , то .

Ответ: .

Пример. Найти значение выражения , если и .

Решение: воспользуемся соотношением:

.

Так как и по условию , то принадлежит четвертой четверти, то есть . Тогда , поэтому:

.

Ответ: .

Пример. Найти значение выражения , если , а .

Решение.

.

Нужно найти . По условию,

.

Ответ: .

Пример. Найти значение выражения , если , а .

Решение. Так как по условию , а , то , поэтому . Тогда

.

Ответ: .

Пример. Упростить выражение , если .

Решение: .

По условию ; , следовательно, и значит,

.

Тогда

.

Из следует, что , значит . Тогда

Ответ: .

Определение обратных тригонометрических функций.

;	;
;	.

Свойства обратных тригонометрических функций.

;	;
;	;
;	;
;	;
;	;
;	;
, если ;	,
, если ;	, если ;
;	;
;	;
;	;
;	.

Некоторые значения обратных тригонометрических функций.

	0				1	-1
	0
					0

	0		1
	0

Основные виды тригонометрических уравнений и способы их решения.

Решение простейших уравнений.

.

.

.

.

Пример. Решить уравнение .

Решение. .

Ответ: .