4. Пусть , тогда:

, ;

, целое четное.

5. .

6. Для любого положительного числа существует, и притом только одно, такое действительное число , что .

7. Из равенства следует, что (и наоборот).

Пример. Вычислить:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9.

;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22.

;

23. =

.

24. Найти , если ;

.

Пример. Вычислить .

Решение:

.

Ответ: 1.

Пример. Вычислить .

Решение:

Ответ: -5,5.

Пример. Вычислить .

Решение:

Ответ: 4.

Пример. Вычислить .

Решение:

.

Ответ: 7.

Пример. Вычислить .

Решение:

Ответ: -16.

Пример. Вычислить .

Решение: .

Ответ: 48.

Пример. Найти значение выражения , если .

Решение:

Ответ: -5.

Для самостоятельного решения:

1. Вычислить:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14.

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. Найти , если , .

25. .

26. .

27. Найти значение выражения , если .

Показательная и логарифмическая функции.

Определение: Функция, заданная формулой , где называется показательной функцией с основанием .

Основные свойства показательной функции.

1. Область определения показательной функции – множество действительных чисел: = .

2. Множество значений показательной функции – множество всех положительных действительных чисел: = .

3. При показательная функция возрастает (рис.1), то есть если , то .

4. При показательная функция убывает (рис.2), то есть если , то .

Определение: Функция, заданная формулой , где - независимая переменная, , называется логарифмической функцией с основанием .

По определению логарифма выражение означает то же, что и выражение , то есть логарифмическая функция есть обратная функция по отношению к показательной.

Основные свойства логарифмической функции.

1. Область определения логарифмической функции – множество всех положительных действительных чисел: = .

2. Множество значений логарифмической функции – множество всех действительных чисел: = или = .

3. При логарифмическая функция возрастает (рис.3), то есть если , то .

4. При логарифмическая функция убывает (рис.4), то есть если , то .

Пример. Найти область определения функции: .

Решение: Поскольку логарифмическая функция определена только для положительных чисел, а корень квадратный – для неотрицательных чисел, задача сводится к решению системы неравенств:

.

Ответ: .

Пример. Найти область определения функции: .

Решение: Область определения данной функции находится из системы:

.

.

Ответ: .

Логарифмирование и потенцирование.

При решении показательных логарифмических уравнений особенно часто используются два преобразования: потенцирование и логарифмирование. Эти преобразования не являются равносильными переходами.

Логарифмированием уравнения по основанию ( ) называется переход от уравнения к уравнению . При этом область существования (ОДЗ) уравнения сужается, так кЮак логарифмы существуют только у положительных чисел.

Например,

но .

Уравнения и не равносильны, так как имеют разные множества решений.

Потенцированием называется переход от уравнения к уравнению . При этом область определения расширяется, так как второе уравнения может существовать при любых , а первое – только при положительных.

Поэтому: если и или , то . Из равенства функций и положительности оной из них следует положительность другой, поэтому проверяем условие положительности только той функции, для которой это сделать проще.

Если , то , и .

Итак, получаем:

Показательные уравнения.

Из монотонности показательной функции следует что

.

Пример. Решить уравнение

Решение: Преобразуем степени и решим получившееся квадратное уравнение:

Ответ: .

Пример. Решить уравнение

Решение: Запишем ОДЗ:

Преобразуем показатели и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

(на ОДЗ)

Оба корня принадлежат ОДЗ.

Ответ: -1; 2.

Пример. Решить уравнение .

Решение: Это уравнение удается решить, используя то, что левая часть является строго убывающей функцией, которая любое положительное значение принимает ровно один раз. Подбором убеждаемся, что

Ответ: -1.

Пример. Найти сумму решений уравнения .

Решение: Так как обе части уравнения положительны в ОДЗ, прологарифмируем уравнение по основанию 5:

Следовательно, сумма решений равна значению единственного решения.

Ответ: 2.

Пример. Решить уравнение: .

Решение: Прологарифмируем уравнение, например, по основанию 2. Тогда:

Ответ: .

Пример. Решить уравнение: .

Решение: Заметим, что , , . Пусть , тогда уравнение примет вид:

Сделаем замену: , , тогда получим:

Возвращаемся к неизвестной :

Ответ: .

Для самостоятельного решения:

1. Укажите произведение всех корней уравнения:

.

Ответ:2.

2. Решить уравнение:

Решение: Преобразуем правую часть уравнения, выделив полный квадрат под знаком внешнего корня:

.

Тогда исходное уравнение равносильно уравнению:

Ответ:5,-3.

3. Решить уравнение:

Решение: Заметим, что , сделаем замену , тогда исходное уравнение будет равносильно:

.

Имеем два уравнения:

Ответ:-2;2.

4. Решить уравнение:

Решение: Заметим, что , поэтому исходное уравнение имеет решение . Левая часть является строго убывающей функцией, которая любое положительное значение принимает ровно один раз, следовательно, найденное решение является единственным.

Ответ:3.

Показательные неравенства.

Решение простейших показательных неравенств основано на свойствах монотонности показательной функции .

1. Если , то функция является возрастающей, следовательно, справедливо утверждение:

2. Если , то функция является убывающей, следовательно, справедливо утверждение:

Рассмотрим некоторые виды показательных неравенств и методы их решения.