- •Содержание.
- •1. Условные обозначения.
- •2. Выражения и преобразования.
- •Пусть , тогда:
- •2. Найти значение выражения , если .
- •Решение простейших уравнений и неравенств: квадратных, рациональных (дробно-рациональных).
- •Понятие модуля. Решение простейших уравнений и неравенств с неизвестным под знаком модуля.
- •Пусть , тогда:
- •27. Найти значение выражения , если .
- •1. Приведение обеих частей неравенства к одному основанию.
- •2. Вынесение общего множителя за скобки.
- •6.Тригонометрические преобразования. Таблицы значений основных тригонометрических функций. Обратные тригонометрические функции. Решение простейших тригонометрических уравнений.
- •7. Декартова система координат. Построение точек и прямых. Понятие функции. Свойства функций. Графики элементарных функций.
- •8. Производная. Правила дифференцирования. Таблица производных, Производная сложных функций. Исследование функции с помощью производной.
- •1. Монотонность
- •2. Экстремумы
- •3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •Задачи для подготовки итоговому тесту.
Понятие модуля. Решение простейших уравнений и неравенств с неизвестным под знаком модуля.
Модуль и его свойства.
1. Определение модуля числа:
.
2. Геометрически есть расстояние от точки числовой оси до начала отсчета – точки
.
3. есть расстояние между точками и числовой оси.
4. Модуль произведения, частного и степени.
.
5. .
Уравнения, содержащие знак модуля.
Уравнения, содержащие знак модуля, можно условно классифицировать по видам, в зависимости от расположения знака модуля. Рассмотрим некоторые виды таких уравнений и методы их решения.
Уравнения вида . Наиболее рациональный путь решения – переход к совокупности
Уравнения вида можно двумя способами заменить равносильными условиями: 1)
2)
Выбор способа замены зависит от того, какое из неравенств или решить легче.
Уравнения вида . Их решение состоит в возведении обеих частей уравнения в квадрат, так как по свойству модуля . Тогда
Уравнения вида . Уравнения этого вида можно решать, используя замену .
Пример. Решить уравнение
Решение: Исходное уравнение равносильно совокупности:
Решая эти уравнения, получим корни .
Ответ: .
Пример. Решить уравнение
Решение: Данное уравнение равносильно системе:
.
Решая эти уравнения, получим корни . Выберем из них те, которые удовлетворяют условию .
Ответ: .
Пример. Решить уравнение
Решение: Поскольку в уравнении функция, стоящая под знаком модуля, проще, то лучше записать уравнение, как совокупность двух систем:
.
Уравнение из первой системы совокупности корней не имеет. Решая уравнение, находим, что
Ответ:
Пример. Решить уравнение
Решение: Возведем обе части уравнения в квадрат:
Ответ:
Пример. Решить уравнение
Решение: Так как , данное уравнение примет вид:
Сделаем замену: получим новое уравнение: , которое имеет два положительных корня . Значит, , откуда .
Ответ:
Дополнительные задачи:
1. Решите уравнение .
Решение: .
Ответ: .
2. Найти сумму целых решений уравнения .
Решение: .
Целое решение только одно: 4, поэтому сумма решений равна значению единственного целочисленного решения: 4.
Ответ: .
3. Найти сумму всех корней уравнения .
Решение:
Сумма корней равна .
Ответ: .
4. Решите уравнение .
Решение:
.
Ответ: .
5. Решите уравнение .
Решение: заметим, что , решим уравнение:
.
Ответ: .
6. Укажите наибольший корень уравнения .
Решение: Расставим знаки выражений, стоящих под знаком модуля, на промежутках:
Теперь легко раскрыть модули и получить соответствующие уравнения на промежутках:
1) .
2)
3) .
Отсюда следует, что наибольшим корнем является число 2.
Ответ: .
7. Решите уравнение .
Ответ: .
Для самостоятельного решения:
Решить уравнения:
|
|
|
|
|
|
|
|
Неравенства, содержащие знак модуля.
Перечислим некоторые частные случаи неравенств, содержащих знак модуля, и рассмотрим методы их решения.
Неравенство вида , где и - некоторые функции, равносильно системе
В частности, неравенство при любом равносильно системе:
или
При неравенство не имеет решений.
Неравенство вида , где и - некоторые функции, равносильно совокупности:
В частности, неравенство равносильно совокупности:
При неравенство выполняется для всех при которых функция имеет смысл.
Неравенство вида равносильно неравенству . Преобразуя последнее неравенство, получим:
,
которое решается методом интервалов.
Неравенство вида можно решать, используя замену .
Пример. Решить неравенство
Решение: Запишем систему, равносильную исходному неравенству:
Ответ: .
Пример. Решить неравенство
Решение: Запишем систему, равносильную исходному неравенству:
Ответ: .
Пример. Решить неравенство .
Решение: Приведем исходное неравенство к виду :
Перейдем к равносильной системе:
,
Имеем:
Решение первого неравенства системы является любое , а решением второго является или
Ответ: .
Пример. Решить неравенство .
Решение: Запишем совокупность, равносильную исходному неравенству:
Решая первое неравенство методом интервалов, получаем или .
Ответ: .
Пример. Решить неравенство .
Решение: Из свойств модуля следует, что неравенство равносильно неравенству . Поэтому исходное неравенство равносильно , откуда .
Ответ: .
Пример. Решить неравенство .
Решение: Неравенство равносильно исходному. В полученном неравенстве перенесем все члены в одну сторону и применим формулу разности квадратов:
.
Так как для всех , то полученное неравенство равносильно . Решая его методом интервалов, получаем ответ.
Ответ: .
Пример. Решить неравенство .
Решение: Введем замену . Тогда исходное неравенство имеет вид:
.
Вернемся к переменной и получим следующую совокупность:
Ответ: .
Дополнительные задачи:
1. Решите неравенство .
Решение:
.
Ответ: .
2. Решите неравенство .
Решение: воспользуемся следующим условием равносильности:
.
.
Ответ: .
Для самостоятельного решения:
1. Решить неравенство:
.
Ответ: .
2. Решить неравенство:
Ответ: .
3. Решить неравенство:
Ответ: .
Понятие логарифма, свойства логарифмов, логарифмические преобразования. Показательная и логарифмическая функции. Логарифмирование и потенцирование. Простейшие показательные и логарифмические уравнения.
Определение: Логарифмом данного числа по данному основанию называется показатель степени , в которую нужно возвести основание , чтобы получить данное число . .
Определение: Десятичным называется логарифм по основанию 10 и обозначается . Натуральным называется логарифм по основанию и обозначается .
Свойства логарифмов.
Пусть .
Основное логарифмическое тождество:
.
Логарифм произведения, частного и степени:
;
четное целое.
Формула перехода к новому основанию. Пусть Тогда:
, в частности, , при .
Кроме того, .