1. Приведение обеих частей неравенства к одному основанию.
Пример. Решить неравенство:
.
Решение: Поскольку
;
,
то данное неравенство равносильно
неравенству:
.
Ответ:
.
Пример. Решить неравенство:
.
Решение:
.
Таким образом, исходному неравенству удовлетворяют все действительные числа.
Ответ: .
Пример. Решить неравенство:
.
Решение:
.
Ответ:
.
2. Вынесение общего множителя за скобки.
Пример. Решить неравенство:
.
Решение: Перепишем исходное неравенство в виде:
.
Вынесем за скобки общий множитель
,
получим неравенство:
Ответ:
.
Пример. Решить неравенство:
.
Решение:
.
Ответ:
.
3. Неравенства вида
,
где
и
,
заменой
сводятся к решению системы неравенств
Пример. Решить неравенство:
.
Решение: Перепишем исходное неравенство в виде:
.
Пусть
,
.
Тогда неравенство примет вид:
.
Ответ:
.
Пример. Решить неравенство:
Решение: Перепишем исходное неравенство в виде:
Введем замену:
,
.
Тогда неравенство равносильно системе:
.
Корнями квадратного трехчлена
являются
.
Решением неравенства является совокупность
двух промежутков:
.
Ответ:
.
Пример. Решить неравенство:
Решение: Приведем исходное неравенство к виду:
Разделив обе части неравенства на
,получим:
.
Пусть
,
тогда
.
Ответ:
.
Пример. Решить неравенство:
Решение: Приведем исходное неравенство к виду:
.
Поскольку
при любом
,
то разделив последнее неравенство на
,
получим равносильное ему неравенство:
.
Пусть
,
тогда
.
Ответ:
.
4. Неравенства вида
при
и
равносильны следующей совокупности:
Пример. Решить неравенство:
Решение: Исходное неравенство равносильно совокупности двух систем:
Таким образом, множество всех решений
исходного неравенства состоит из
объединения двух промежутков
и
.
Ответ:
.
Пример. Решить неравенство:
Решение: Исходное неравенство равносильно совокупности двух систем:
Решим первую систему полученной совокупности:
Эта система решений не имеет.
Решим вторую систему совокупности:
.
Ответ:
.
Пример. Решить неравенство:
.
Решение: Представим данное неравенство в виде:
.
Обозначим
.
Тогда по свойствам показательной функции
,
после подстановки
получим квадратное неравенство
,
решив которое, будем иметь
.
Для переменной
получим систему:
.
Ответ:
.
Пример. Решить неравенство:
.
Решение: Представим данное неравенство в виде:
.
Разложив его левую часть на множители, получим
.
Последнее неравенство равносильно совокупности двух систем:
1)
2)
Сравним числа
и
.
Так как
,
а
,
то
,
значит
.
Тогда получаем, что первая система
решений не имеет, а решениями второй
служит промежуток
.
Ответ:
.
Пример. Решить неравенство:
.
Решение: Область определения
неравенства определяется условием
.
Исходное неравенство равносильно
совокупности:
.
Из уравнения
находим
.
Поскольку
,
то первое неравенство системы можно
записать в виде
Учитывая условие
,получаем
решение системы – промежуток
.
Ответ:
.
Пример. Решить неравенство:
Решение:
.
Обозначим
,
тогда:
.
Ответ:
.
Логарифмические уравнения.
Выделим некоторые методы решения логарифмических уравнений.
1. Логарифмические уравнения, решаемые
по определению логарифма. Уравнения
вида
равносильны уравнению
.
2. Уравнения первой степени относительно
логарифма, решаемые потенцированием.
Уравнения вида
равносильны каждой из следующих систем:
или
.
3. Уравнения второй степени и выше относительно логарифма, решаемые как алгебраические, чаще всего с использованием замены.
4. Логарифмические уравнения, решаемые функциональным методом.
Пример. Решить уравнение
.
Решение: Исходное уравнение равносильно уравнению
Ответ: 2; 9.
Пример. Решить уравнение
.
Решение: Исходное уравнение равносильно системе:
.
Ответ: 1.
Пример. Решить уравнение
.
Решение: Исходное уравнение равносильно системе:
.
Ответ: 2.
Пример. Решить уравнение
.
Решение: Исходное уравнение равносильно системе:
.
Ответ: 2.
Пример. Решить уравнение
Решение: Область определения
уравнения
.
Приведем первое слагаемое, стоящее в
левой части уравнения, к основанию 2:
.
Преобразуем второе слагаемое исходного уравнения, используя свойства логарифмов:
на
ОДЗ=
.
Таким образом, исходное уравнение равносильно
.
Произведем замену
.
Уравнение примет вид:
Ответ:
.
Пример. Решить уравнение
.
Решение: Учитывая, что , прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:
.
Ответ:
.
Пример. Решить уравнение .
Решение: Учитывая, что , прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:
.
Ответ: .
Пример. Решить уравнение
.
Решение:
.
Ответ: -3.
Пример. Решить уравнение
.
Решение: Преобразуем подлогарифмические выражения:
Ответ: -2.
Для самостоятельного решения:
1. Решить уравнение:
Решение: Исходное уравнение равносильно системе:
Ответ:48.
2. Решить уравнение:
Ответ:
.
3. Решить уравнение:
.
Ответ:
.
4. Решить уравнение:
Решение:
.
Ответ: 1,4.
Логарифмические неравенства.
Решение логарифмических неравенств основано на свойствах монотонности логарифмической функции.
Неравенства вида
при
равносильны системе условий
;
при
:
.
Пример. Решить неравенство
.
Решение: Так как основание
логарифмов
,
то исходное неравенство равносильно
системе:
Ответ:
.
Пример. Решить неравенство
.
Решение: Так как
,
а основание логарифма
,
то
.
Отсюда следует, что
,
тогда получим
.
Ответ:
.
Пример. Решить неравенство
.
Решение: Так как
,
то исходное неравенство равносильно
системе
Ответ:
.
Пример. Решить неравенство
.
Решение: Решим данное неравенство методом интервалов. Для этого приведем его к виду:
.
Область определения неравенства:
.
Введем замену:
,
тогда
Ответ:
.