2.4. Методы расчётов на финансовом рынке.

Количественный анализ операций на финансовом рынке пре-

дусматривает решение широкого круга задач, включая: измерение

конечных финансовых результатов операции для каждой из участ-

вующих в ней сторон, выявление зависимости конечных результа-

тов от параметров сделки (размеров, сроков, условий выполнения

финансовых операций), определение возможностей безубыточного

изменения условий сделки.

Основными параметрами любой финансовой операции, связан-

ной с привлечением денежных ресурсов являются: сумма использу-

емых в качестве кредита или инвестиций средств, сроки, способы

начисления процентов, условия погашения долга.

Особое значение в расчётах по операциям на финансовом

рынке имеет фактор времени. Он играет не меньшую роль, чем

размеры денежных средств. Учёт фактора времени предопределен

принципом неравноценности денег, относящихся к разным моментам

времени. Неравноценность двух одинаковых по абсолютной величи-

не сумм денежных средств определяется тем, что теоретически

любая сумма денег может быть инвестирована и принести доход.

Доходы могут быть реинвестированы и также принести доход и

т.д. Следовательно, с точки зрения количественного финансового

анализа денежные средства, относящиеся к разным моментам вре-

мени на могут быть просуммированы. Учёт фактора времени в фи-

- 41 -

нансовых расчётах осуществляется с помощью начисления процен-

тов.

Под процентами (процентными деньгами) понимают абсолютную

величину дохода от предоставления денег в долг в любой форме.

Процентная ставка есть отношение суммы дохода (процентных

денег), выплачиваемой за фиксированный отрезок времени. к ве-

личине ссуды.

Интервал, к которому приурочена процентная ставка, назы-

вается периодом начисления. В качестве периода начисления ча-

ще всего используется год, полугодие, квартал, месяц.

Начисление процентов приводит к росту первоначальной сум-

мы, поэтому ставка процента используется как показатель степе-

ни эффективности финансовой операции.

В практике используются два основных способа начисления

процентов. Первый - простые процентные ставки, когда ставки

процентов проименяются к одной и той же начальной сумме на

протяжения всего срока ссуды, сложные процентные ставки, когда

ставки процентов применяются к сумме с начисленными в предыду-

щем периоде процентами.

На финансовом рынке могут использоваться постоянные, пе-

ременные или плавающие ставки процентов.

При расчёте по простым процентам наращенная сумма долга,

под которой понимается первоначальная сумма долга и наыислен-

ные на неё проценты, определяется по формуле:

S = p (1 + ni),

где S - сумма образовавшаяся к концу срока ссуды (наращенная

сумма),

p - начальная сумма долга,

i - ставка процентов (в виде десятичной дроби),

n - количество периодов, за которые начисляются проценты.

В практике расчётов за базу при начислении процентов мо-

жет использоваться либо начальная сумма ссуды с применением

процентной ставки i (антисипативные проценты), либо сумма по-

гашения долга с использованием ставки дисконта d (учётная став-

ка. Проценты по ставке d называют декурсивными.

Соотношение между ставками i и d может быть выражено сле-

дующим образом:

S - p S - p

i = ----- , d = ----- ,

- 42 -

p S

d i

i = ----- , d = ----- ,

1 - d 1 + i

S=p (1+i); P=S (1-d)

Как правило, величины i и d выражаются в процентах.

Пример. Кредит выдан на 1 год в сумме 2 млн. руб. с усло-

вием возврата 4 млн. руб. В этом случае i = 100%, а d = 50%.

если кредит выдан на сумму 3 млн. руб. и i = 50%, то через год

необходимо вернуть 4,5 млн. руб., если кредит выдан в сумме 3

млн. руб. и d = 20%, то заёмщик получит 2,4 млн. руб.

Обычно, ставка процента устанавливается в расчёте на год.

Период кредитования определяется условиями сделки и может быть

равен, меньше или больше года. Поэтому все вычисления по фи-

нансовым операциям должны быть приведены по времени к одному

периоду - году.

Возможны следующие варианты расчёта:

а). За базу измерения времени берут год, условно состоя-

щий из 360 дней (12 месяцев по 30 дней). В этом случае вы-

числяют обыкновенный (коммерческий) процент.

б). За базу берут действительное число дней в году - 365

или 366, вычисляя точный процент.

Кроме того, определение числа дней в году может быть точ-

ным и приближённым. В первом случае подсчитывается точное

число дней между двумя датами, во втором - продолжительность

ссуды определяется количеством месяцев и дней ссуды, месяц

принимается равным 30 дням. (Дата выдачи ссуды и дата погаше-

ния в обоих случаях считается за один день).

Таким образом, все варианты расчёта сводятся к следующим:

1. Точные проценты с точным числом дней ссуды.

2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды.

3. Обыкновенные проценты с приближённым числом дней ссуды.

Пример *). Ссуда в размере 100 тыс. рублей выдана 20.01

до 05.10 включительно под 8% годовых. Год невисокосный. Опре-

делим размер погасительного платежа. Точное число дней ссуды

равно 258 дней, приближённое - 255.

Применяя различные методы определения продолжительности

- 43 -

ссуды и календарного периода, получили:

1. Точные проценты с точным числом дней ссуды

258

S = 100000 * (1 + --- * 0,08) = 105654,79 руб.

365

2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды

258

S = 100000 * (1 + --- * 0,08) = 105733,33 руб.

360

3. Обыкновенные проценты с приближённым числом дней ссуды.

255

S = 100000 * (1 + --- * 0,08) = 105666,67 руб.

360

В кредитных отношениях иногда предусматривается изменяющиеся

во времени процентные ставки. В этом случае наращенная сумма

определяется по формуле

S = P (1 7  0+ 7 S 0 n 4t 0i 4t 0)

t

где i 4t 0n 4t 0 -ставка простыx процентов и продолжительность периода её

начисления в периоде t.

Если проценты с суммы S удерживаются непосредственно при

выдаче ссуды, то это означает, что сумма S дисконтируется.

Процесс начисления и удержания процентов вперёд называют учё-

том, а проценты в виде разности (S - Р) = D называют дискон-

том. Термин дисконтирование может быть использован более широ-

ко во всех случаях, когда необходимо определить любую стои-

мостную величину на некоторый момент времени при условии, что

в будущем она составит величину S. Дисконтирование означает

приведение стоимостного показателя к заданному моменту време-

ни. Поэтому величину Р, найденную дисконтироваем S, называют

современной или приведённой величиной S. Следовательно, с по-

мощью дисконтирования учитывается фактор времени.

Операция дисконтирования широко применяется при бан-

ковском учёте векселей. Учёт векселя заключается в том, что

банк или какое-либо финансовое учреждение покупает у владельца

вексель (или другое платёжное обязательство) по цене меньше

той суммы, которая должна быть выплачена по нему в конце сро-

ка, т.е. приобретает его с дисконтом. При учёте векселей при-

- 44 -

меняется банковский или коммерческий учёт. Согласно этому ме-

тоду проценты за пользование ссудой начисляются на сумму,

подлежащую уплате в конце срока ссуды.

Размер дисконта, удерживаемого банком, равен S * n * d,

т.е.

p = S - S n d = S (1 - nd),

где n - продолжительность срока в годах от момента учёта до

даты уплаты по векселю.

(1 - nd) - дисконтный множитель.

Дисконтирование по учётной ставке производится чаще всего

при условии, что год равен 360 дням, а число дней в периоде

берётся точным.

Пример. Вексель выдан на сумму 2 млн. руб. и содержит

обязательство выплатить владельцу векселя эту сумму 15.03.94г.

Владелец предъявил банку вексель досрочно 01.02. 94г. и

банк согласился учесть вексель с дисконтом 120% годовых. В

этом случае полученная векселедержателем сумма буде равна

42

p = 2 (1 - --- 1,2) = 1,72 млн. руб.

360

Простая учётная ставка может быть применена и при расчёте

наращенной суммы. Например, необходимо определить сумму, кото-

рая должна быть проставлена в бланке векселя, если задана те-

кущая сумма долга, его срок и учётная ставка. Расчёт ведётся

по формуле

1

S = Р --------- ,

1 - n * d

1

где --------- - множитель наращения.

1 - nd

При n = 1/d расчёт по указанной формуле теряет смысл.

Простая учётная ставка даёт более быстрый рост суммы ссу-

ды, чем аналогичная по величине ставка простых процентов.

Операции начисления процентов и дисконтирования по учёт-

ной ставке могут совмещаться, например, при учёте платёжного

обязательства, предусматривающего начисление простых процен-

тов. Расчёт производится по формуле

Р 42 0 = Р 41 0 (1 + n 41 0i) * (1 - n 42 0d),

- 45 -

где Р 41 0 - первоначальная сумма ссуды,

Р 42 0 - сумма, получаемая при учёте обязательств,

n 41 0 - общий срок платёжного обязательства (срок начисления

процентов),

n 42 0 - срок от момента учёта обязательства до даты погашения

долга, n <= n .

При необходимости определить срок ссуды при прочих задан-

ных условиях расчёт осуществляется по формуле

S - Р S/Р - 1 S - Р 1 - Р/S

n = ----- = -------- ; n = ----- = -------

Рi i  4  0 Sd  4  0d

Срок ссуды в днях равен

S - Р S/Р - 1

t = ----- * K = ------- * K;

Рi i

S - Р 1 - Р/S

t = ----- * K = ------- * K. K = 365

Sd d

Если процентные ставки в явном виде не указаны, но есть

необходимость сравнить контракты по степени доходности, то они

могут быть рассчитаны на основе уравнений наращивания и

дисконтирования.

S - Р S - Р

i = ----- = ----- * K;

Рn Рt

S - Р S - Р

d = ----- = ----- * K.

Sn St

В долгосрочных финансово-кредитных операциях, если про-

центы не выплачиваются сразу после их начисления, а присоеди-

няются к сумме долга, для наращения суммы ссуды, в расчётах

используется метод сложных процентов.

При использовании этого метода база для начисления слож-

ных процентов не остаётся постоянной - она увеличивается с

каждым шагом во времени и процесс наращения происходит с уско-

рением.

Расчёт наращённой суммы в этом случае осуществляется по

формуле

S = Р (1 + i) 5n

- 46 -

Величину (1 + i) 5n 0 называют множителем наращения. Значения

множителя наращения для различных i и n задаются, как правило,

таблично, или рассчитываются путём логарифмирования или другим

методом.

Если процентные ставки меняются во времени, то

n 41 0 n 42 0 n 4k

S = Р (1 + i 41 0)  4* 0 (1 + i 42 0)...(1 + i 4k 0) ,

где i 41 0,i 42 0,...,i 4k 0 - последовательные значения ставок процентов

n 41 0,n 42 0,...,n 4k 0 - периоды, в течение которых используются

соответствующие ставки.

Пример. Процентная ставка по ссуде определена на уровне

8,5% плюс маржа - 0,5% в первые два года, 0,75% в следующие

три года. Множитель наращения в этом случае составит

2 3

1,09 * 1,0925 = 1,54923512

В финансовых расчётах могут применяться условия, пре-

дусматривающие начисления сложных процентов несколко раз в го-

ду. При этом оговаривается годовая ставка процентов и коли-

чество начислений за год (m). При этих условиях базовый период

составляет фактически 1/m часть года, а ставка сложных процен-

тов принимает значение i/m. Отсюда величина множителя нараще-

ния равна mn

(1 + i/m) .

Кроме рассмотренных выше в финансовых расчётах и анализе

используется понятие эффективной ставки процентов, которая из-

меряет тот реальный относительный доход, который получается в

целом за год. Эффективная ставка показывает, какая годовая

ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что

и m-разовое наращение в год по ставке j/m, где j - годовая

ставка процента.

Если обозначить через i годовую эффективную ставку про-

цента, то её значение определяется следующим образом:

i = (1 + j/m) 5m 0 - 1

При подготовке контрактов может возникнуть необходимость

определения j по заданному значению i. Тогда расчёт осущест-

вляется по формуле

1/m

j = m ((1 + i) - 1).

При учёте (дисконтировании) по ставке сложных процентов

- 47 -

расчёт ведётся по формуле

S

Р = ------- = Sv 5n 0 ,

(1 + i) 5n

где v 5n 0 - учётный или дисконтный множитель.

1

v 5n 0 = ------- = (1 + i) 5-n

(1 + i) 5n

Для случая, когда проценты начисляются m раз в году,

расчёт проводится следующим образом:

S

p = -------- mn = Sv 5mn

(1 + j/m)

Дисконтный множитель равен

1

v 5mn 0 = -------- mn = (1 + j/m) 5-mn

(1 + j/m)

Для проведения расчётов значение дисконтного множителя,

как правило, вычисляются заранее и сводятся в таблицу.

Пример. Необходимо определить современную величину 50

тыс. руб., которые будут выплачены через 5 лет. Ставка сложных

процентов равна 5%. Величина дисконтного множителя, соот-

ветствующая указанным условиям равна 1,05 5-5 0=0,78353

тогда Р = 50 * 1,05 5-5 0 = 50 * 0,78353 = 39,176 тыс. руб.

Если дисконтирование производится не один, а четыре раза

в году, то

Р = 50 * (1 + 0,05/4) 5-4,5 0 = 39 тыс. руб.

Преимущественные значения дисконтных множителей для

простой и сложной ставки процентов зависят от срока сделки.

При i 4n 0 = i 4c 0:

для срока меньше года (1 + ni 4n 0) 5-1 0< (1 + i 4c 0) 5-n 0 ;

для срока больше года (1 + ni 4n 0) 5-1 0> (1 + i 4c 0) 5-n 0 ,

где i 4n 0 и i 4c 0 - простые и сложные ставки.

С увеличением срока операций может использоваться также

сложная учётная ставка. В этом случае дисконтирование происхо-

дит с замедлением, т.к. на каждом шаге учётная ставка  4  0приме-

няется не к первоначальной сумме, а к сумме уменьшенной на ве-

личину дисконта, определенного на предыдущем шаге.

При дисконтировании по сложной учётной ставке расчёт осу-

- 48 -

ществляется по формуле

Р = S (1 - d 4с 0) 5n 0 ,

где d 4c 0 - сложная годовая учётная ставка.

Дисконт в этом случае равен

Д 4d 0 = S - S 4  0(1 - d 4c 0) 5n 0 = S (1 - (1 - d 4c 0) 5n 0)

При дисконтировании m раз в году применяют номинальную

учётную ставку f. В каждом периоде дисконтирование осуществля-

ется по ставке f/m.

Р = S (1 - f/m) 5N 0 ,

где N - общее число периодов дисконтирования, N = mn.

Под эффективной учётной ставкой понимают сложную учётную

ставку, эквивалентную номинальной при заданном значении m. Из

равенства

(1 - f/m) 5m 0 = 1 - d 4c 0 , следует

что  4  0d 4c 0 = (1 - f/m) 5m 0 - 1

Эффективная учётная ставка меньше номинальной.