- •9. Дифференциальные уравнения
- •9.1. Дифференциальные уравнения первого порядка Краткие теоретические сведения
- •Примеры решения типовых задач
- •Задания для самостоятельной работы
- •9.2. Уравнения с разделяющимися переменными Краткие теоретические сведения
- •Примеры решения типовых задач
- •Задания для самостоятельной работы
- •9.3. Однородные дифференциальные уравнения Краткие теоретические сведения
- •Примеры решения типовых задач
- •Задания для самостоятельной работы
- •9.4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение я. Бернулли Краткие теоретические сведения
- •Метод и. Бернулли
- •Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной)
- •Уравнение я. Бернулли
- •Примеры решения типовых задач
- •Задания для самостоятельной работы
- •Интегрирующий множитель
- •Примеры решения типовых задач
- •Задания для самостоятельной работы
- •9.6. Дифференциальные уравнения второго и более высоких порядков, допускающие понижение порядка Краткие теоретические сведения
- •Примеры решения типовых задач
- •Задания для самостоятельной работы
- •9.7. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами (лоду) Краткие теоретические сведения
- •Примеры решения типовых задач
- •Задания для самостоятельной работы
- •9.8. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами второго и более высоких порядков (лнду) Краткие теоретические сведения
- •Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)
- •Метод неопределенных коэффициентов
- •Примеры решения типовых задач
- •Задания для самостоятельной работы
- •9.9. Приложение дифференциальных уравнений в экономике Краткие теоретические сведения
- •Примеры решения типовых задач
- •Задачи для самостоятельной работы
9.6. Дифференциальные уравнения второго и более высоких порядков, допускающие понижение порядка Краткие теоретические сведения
Одним из методов интегрирования ДУ высших порядков является метод понижения порядка. Суть этого метода состоит в том, что с помощью замены подстановкой данное ДУ сводится к уравнению, порядок которого ниже.
Рассмотрим некоторые типы уравнений высших порядков, допускающих понижение порядка.
1. Пусть дано уравнение второго порядка:
. (6.1)
Порядок понижается непосредственно путем последовательного интегрирования данного уравнения.
Так как , то уравнение (6.1) можно записать в виде . Тогда . Далее, интегрируя полученное уравнение по , находим: – общее решение данного уравнения.
Аналогично поступают в случае, если уравнение задается в виде:
. (6.1*)
Общее решение находят методом n-кратного интегрирования:
.
2. Рассмотрим уравнение:
, (6.2)
явно не содержащее искомую функцию .
Сделаем замену , где – новая неизвестная функция. Тогда и уравнение (6.2) принимает вид . Пусть – общее решение полученного ДУ первого порядка. Заменяем функцию , получаем ДУ . Для отыскания достаточно проинтегрировать последнее ДУ, тогда общее решение ДУ (6.2) будет иметь вид .
ДУ n-го порядка вида:
, (6.2*)
которое не содержит явно искомой функции сводится к уравнению -го порядка с помощью подстановки , учитывая, что . Получаем уравнение:
.
Если удастся отыскать общее решение последнего уравнения в виде , получим дифференциальное уравнение
вида (6.1.*), решение которого находят k-кратным интегрированием.
3. Рассмотрим ДУ второго порядка, явно не содержащее независимую переменную :
. (6.3)
В этом случае порядок можно понизить с помощью новой функции , зависящую от переменной , полагая . Тогда
,
так как . Таким образом, , тогда уравнение (6.3) запишется в виде . Пусть – общее решение этого ДУ первого порядка. Заменяя функцию на , получаем – ДУ с разделяющимися переменными. Интегрируя его, получаем общий интеграл уравнения (6.3):
.
При решении уравнения
(6.3*)
поступаем аналогично. Его порядок всегда можно понизить на единицу с помощью подстановки , где . По правилу дифференцирования сложной функции находим , затем
и т.д.
Примеры решения типовых задач
Пример 1. Решить уравнение .
Решение. Это уравнение вида (6.1*). Последовательно интегрируя четыре раза данное уравнение, получим:
,
,
.
Пример 2. Решить ДУ .
Решение. Данное уравнение есть неполное ДУ второго порядка, в нем явно отсутствует .
Подстановкой , сводим его к уравнению первого порядка – ДУ с разделяющимися переменными.
.
Так как , получаем еще одно ДУ первого порядка . Интегрируем получившееся ДУ:
.
Пример 3. Найти общее решение ДУ третьего порядка
.
Решение. Данное уравнение является уравнением 2-го типа (6.2), где . Вводим новую функцию и получаем из исходного уравнения линейное уравнение , которое записываем в виде
.
Для его решения воспользуемся формулой (4.5), получаем:
.
Так как , то приходим к новому ДУ, решение которого находится с помощью двукратного интегрирования:
.
Пример 4. Найти частное решение ДУ , удовлетворяющее начальным условиям .
Решение. Данное ДУ относится к 3-му типу, в нем явно отсутствует переменная .
Воспользуемся подстановкой , где , тогда :
.
1) . Если , то .
2) .
Учитывая, что , получаем – уравнение первого порядка
– общее решение. Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям . Найдем : . Подставим в выражения для и значения , получим систему двух уравнений с двумя неизвестными:
Следовательно, данное уравнение имеет два частных решения:
и .
Пример 5. Найти общее решение ДУ третьего порядка
.
Решение. Имеем уравнение вида (6.3*). Введем новую функцию , где . Тогда
.
После подстановки получаем уравнение:
.
Преобразуем получившееся уравнение:
,
.
1) .
2) . Сделаем обратную замену , получаем:
.