Задания для самостоятельной работы
n9.7. Решить однородные ДУ:
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
д)
|
е)
|
ж)
|
з)
|
;
;
;
;
;
;
;
.n9.8. Решить ДУ, приводящиеся к однородным:
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
д)
|
е)
|
ж)
|
з)
|
;
;
;
;
;
;
;
.n9.9. Найти частные решения (интегралы) уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
д)
|
е)
|
ж)
|
з)
|
;
;
;
;
;
;
;
.Ответы
9.4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение я. Бернулли Краткие теоретические сведения
Дифференциальное уравнение первого порядка вида:
, (4.1)
линейное
относительно неизвестной функции
и ее производной
(а также любое уравнение, с помощью
алгебраических преобразований
приводящееся к виду 4.1), называется
неоднородным
линейным дифференциальным уравнением
первого порядка.
Функции
и
должны быть непрерывными в некоторой
области, например на отрезке
,
для того, чтобы выполнялись условия
теоремы Коши существования и единственности
решения (см. теорему из п. 1.1.).
В
случае, когда
,
уравнение (4.1.) называют однородным
линейным дифференциальным уравнением.
Особенность ДУ (4.1.) состоит в том, что искомая функция и ее производной входят в уравнение первой степени, не перемножаясь между собой.
Рассмотрим два метода интегрирования ДУ (4.1) – метод Бернулли и метод Лагранжа.
Метод и. Бернулли
Введем
две неизвестные функции
и
.
Решение уравнения (4.1) найдем в виде
произведения этих двух функций, т.е. с
помощью подстановки
(подстановки Бернулли). Тогда
.
Подставляя выражения
и
в уравнение (4.1), получаем:
или
.
(4.2)
Подберем
функцию
так, чтобы выражение в скобках было
равно нулю, т.е. уравнение (4.2) превратилось
в уравнение
. (4.3)
Для
этого необходимо решить ДУ с разделяющимися
переменными:
.
А
именно:
.
Так
как
может быть выбрана достаточно произвольно
(поскольку только произведение
должно удовлетворять исходному уравнению
4.1), можно
принять
.
Отсюда:
.
Подставляя найденную функцию в уравнение (4.3), получаем:
.
После решения полученного ДУ с разделяющимися переменными находим функцию :
.
Возвращаясь к переменной , получаем общее решение исходного ДУ (4.1):
.
Таким образом, интегрирование уравнения (4.1) сводится нахождению двух функций: – решение уравнения , и – решение уравнения , т.е. к интегрированию двух уравнений с разделяющимися переменными.
Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной)
Решим линейное однородное ДУ, о котором говорилось выше, т.е.
.
Данное уравнение есть уравнение с разделяющимися переменными, поэтому
,
т.е.
.
Метод
вариации произвольной постоянной
состоит в следующем: постоянную
в полученном решении заменяют функцией
,
т.е.
.
Решение уравнения (4.1) ищем в виде:
.
(4.4)
Подставляем решение (4.4) в исходное уравнение (4.1)
Для удобства вычислений найдем отдельно производную :
.
После подстановки получаем:
.
Второе и третье слагаемые взаимно уничтожаются, и уравнение принимает вид:
.
Следовательно,
Интегрируя, находим:
Подставляя выражение в равенство (4.4), получим общее решение ДУ (4.1):
(4.5)
Естественно, та же формула была получена методом Бернулли.
Общее решение уравнения (4.1) всегда можно записать в виде (4.5).
Замечание. Уравнение вида
(4.6)
можно
свести к линейному, если
считать функцией, а
– аргументом:
.
Тогда, используя равенство
,
получаем
,
т.е.
или
,
(4.6*)
где
и
,
линейное относительно
уравнение.
Его общее решение имеет вид:
