Задачи для самостоятельной работы
n9.29.
Найти функцию
спроса
,
если эластичность спроса по цене
постоянна
= - ½, а цена
при значении спроса
.
Ответ:
n9.30. Некоторая небольшая страна имеет 109 денежных единиц наличными в обращении, и каждый день 50 миллионов поступает в банки страны. Правительство решает ввести в обращение денежные купюры нового образца, заменяя старые купюры новыми всякий раз, когда старые купюры поступают в банки. Пусть x(t) – сумма денег в обращении в момент времени t, представленная новыми купюрами, x(0)=0.
a) Постройте математическую модель "потока" новых купюр в обращение в форме уравнения с начальными условиями.
б) Решите уравнение a) с начальными условиями.
в) Сколько потребуется времени для того, чтобы денежная масса в новых купюрах составила 90% наличных денег в обращении?
Ответ: в) 18 дней.
n9.31.
Пусть
–
объём денег (в рублях), инвестируемых в
бизнес в момент времени t
(в месяцах).
Скорость изменения инвестированного
капитала,
,
иногда называют уровнем чистых инвестиций.
Предположим, что руководство фирмы
решает, что оптимальный уровень инвестиций
должен быть равен C рублей и что в любое
время уровень чистых инвестиций должен
быть пропорционален разнице между C и
объёмом инвестируемого капитала.
а) Постройте дифференциальное уравнение, которое описывает эту ситуацию.
б) Полагая f(0)=0, f(3)=С/2, найдите объём инвестированных в бизнес денег в течение 6 месяцев.
Ответ: б) 0,75С.
n9.32. Модель, описывающая взаимосвязь между ценой продукта и недельным объёмом продаж этого продукта, имеет вид
,
где у – объём проданной продукции, р – цена продукта.
а) Решите это дифференциальное уравнение.
б) Постройте графики функций спроса у = у(р,С).
Ответа нет.
n9.33. В экономической теории для описания инвестиционной политики компании используется следующая модель. Пусть представляет сумму инвестированного капитала компании к моменту времени t. Дополнительно капитал инвестируют всякий раз, когда ниже определенной величины равновесия E, и капитал забирают всякий раз, когда превышает E. Уровень (скорость) инвестиций пропорционален разнице между и E. Составьте дифференциальное уравнение, решением которого является , и постройте графики интегральных кривых.
Ответ: y’ = k(E - y), k > 0.
n9.34. Вечная рента – непрекращающийся поток денег, которые выплачиваются некоторому лицу. Такая рента может быть установлена, например, если внести начальную сумму на сберегательный счет банка и затем делать фиксированные отчисления со счета. Предположим, что начальная сумма 5400 рублей помещена на сберегательный счет, на который непрерывно начисляются проценты по годовой ставке 5.5%. И непрерывно производятся отчисления денег со счета, при этом сумма отчислений за год составляет 300 рублей. Составьте дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет сумма денег на счете f(t) в момент времени t. Постройте график решения.
Ответ: y’ = 0,055y – 300, у(0) = 5400.
n9.35. Сумма 10000 рублей положена на сберегательный счет банка по годовой ставке 6%, начисляемых непрерывно. Через шесть месяцев начаты непрерывные отчисления денег со счета со скоростью 600 рублей в год. Составьте дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет сумма денег на счете в момент времени t, где t > 0,5. Постройте графики интегральных кривых.
Без ответа.
n9.36. Фирма хочет сформировать фонд своего будущего развития. С этой целью она делает непрерывные отчисления на сберегательный счет в размере 10000 рублей в год. Сберегательный счет предусматривает непрерывное начисление 5% годовых.
а)
Составьте дифференциальное уравнение,
которому удовлетворяет сумма денег на
счете
в
момент времени t.
б)
Решите дифференциальное уравнение при
условии
.
в) Сколько денег на счете окажется к концу 5 года?
Ответ: в) 56805 рублей.
n9.37. Господин N планирует купить новый автомобиль. С этой целью он делает непрерывные отчисления на отдельный сберегательный счет в размере Р рублей в год. Сберегательный счет предусматривает непрерывное начисление 7% годовых. Определите сумму ежегодных отчислений Р, которая позволит господину N накопить на сберегательном счете к концу четвёртого года 350000 рублей.
Ответ: Р = 75821 рубль.
n9.38. Проектная производственная мощность нового цеха – 15000 единиц продукта в день. В период переходного процесса освоения производственных мощностей объём фактического производства в момент времени t равен . Прирост производства пропорционален недоиспользованной мощности. Составьте дифференциальное уравнение, решением которого является , и постройте график интегральной кривой, удовлетворяющей условию . какова
Без ответа.
Ответы
Типовые варианты контрольных работ
Контрольная работа № 11 по теме «Решение дифференциальных уравнений первого порядка»
3.
Контрольная работа № 11 по теме «Решение дифференциальных уравнений высших порядков порядка»
