Задания для самостоятельной работы

n9.22. Найти общее решение линейных однородных ДУ второго порядка:

а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж) ;	з) .

n9.23. Найти общее решение линейных однородных ДУ высших порядков:

а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж) ;	з) .

n9.24. Найти частное решение для ДУ:

а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж) ;	з) .

Ответы

9.8. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами второго и более высоких порядков (лнду) Краткие теоретические сведения

Уравнение вида:

, (8.1)

где коэффициенты – некоторые действительные числа, а – непрерывная функция, называется линейным неоднородным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами.

Если , то получаем ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами:

, (8.1*)

где и – вещественные числа.

Рассмотрим два метода решения ЛНДУ: метод вариации произвольных постоянных (или метод Лагранжа) и метод неопределенных коэффициентов.

Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)

Рассмотрим ЛНДУ второго порядка (8.1*). Пусть найдено общее решение соответствующего ЛОДУ, и оно имеет вид:

. (8.2)

Тогда общее решение исходного уравнения (8.1.*) имеет вид (8.2), где и – функции переменной ( и ), т.е.

. (8.3)

Эти функции могут быть найдены в результате решения системы:

(8.3)

и последующего интегрирования функций .

Если общее решение ЛОДУ n-го порядка представляет собой функцию:

,

то общее решение ЛНДУ n-го порядка находится в виде

.

Тогда система уравнений для нахождения неизвестных имеет вид:

Метод неопределенных коэффициентов

Метод неопределенных коэффициентов основан на том, что общее решение уравнений (8.1) и (8.1*) представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения , т.е.

.

Нахождение общего решения однородного уравнения рассмотрено в п. 7.

Метод неопределенных коэффициентов применяется для нахождения частного решения ЛНДУ с правой частью специального вида:

, (8.4)

где – некоторые действительные числа; – многочлены от переменной степеней и соответственно.

Суть рассматриваемого метода состоит в следующем: по виду правой части ЛНДУ с постоянными коэффициентами записывают ожидаемую форму частного решения с неопределенными коэффициентами, затем подставляют ее в уравнение и из полученного тождества находят значения коэффициентов.

Обозначим через комплексное число, ассоциированное с неоднородностью вида (8.4):

.

Пусть – кратность числа как корня характеристического уравнения (7.7) решаемого однородного уравнения (7.6). Тогда частное решение (ожидаемая форма) уравнения (8.1*) может быть найдено по формуле:

, (8.5)

где – многочлены, степень которых равна наибольшей из степеней и многочленов из формулы (8.4).

Замечание. Напомним, что многочлен степени n записывают в виде:

при ; при ; при ; при и т.д.

Для подбора частного решения неоднородного уравнения по виду правой части и корней характеристического уравнения удобно пользоваться следующей таблицей, которая рассматривает отдельные случаи вида правой части, т.е. если формула (8.8) присутствует не полностью (табл.).

Таблица

Определение вида частного решения дифференциального уравнения

Правая часть дифференциального уравнения	Корни характеристического уравнения	Вид частного решения
	а) Число 0 не является корнем характеристического уравнения
	б) Число 0 является корнем характеристического уравнения кратности
	а) Число а не является корнем характеристического уравнения
	б) Число а является корнем характеристического уравнения кратности
	а) Число не является корнем характеристического уравнения
	б) Число является корнем характеристического уравнения кратности
	а) Число не является корнем характеристического уравнения
	а) Число является корнем характеристического уравнения кратности

Замечание. Если неоднородность исходного уравнения (8.1*) имеет вид:

,

и – частное решение уравнения

,

где , то

–

частное решение уравнения (8.1*).