- •9. Дифференциальные уравнения
- •9.1. Дифференциальные уравнения первого порядка Краткие теоретические сведения
- •Примеры решения типовых задач
- •Задания для самостоятельной работы
- •9.2. Уравнения с разделяющимися переменными Краткие теоретические сведения
- •Примеры решения типовых задач
- •Задания для самостоятельной работы
- •9.3. Однородные дифференциальные уравнения Краткие теоретические сведения
- •Примеры решения типовых задач
- •Задания для самостоятельной работы
- •9.4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение я. Бернулли Краткие теоретические сведения
- •Метод и. Бернулли
- •Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной)
- •Уравнение я. Бернулли
- •Примеры решения типовых задач
- •Задания для самостоятельной работы
- •Интегрирующий множитель
- •Примеры решения типовых задач
- •Задания для самостоятельной работы
- •9.6. Дифференциальные уравнения второго и более высоких порядков, допускающие понижение порядка Краткие теоретические сведения
- •Примеры решения типовых задач
- •Задания для самостоятельной работы
- •9.7. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами (лоду) Краткие теоретические сведения
- •Примеры решения типовых задач
- •Задания для самостоятельной работы
- •9.8. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами второго и более высоких порядков (лнду) Краткие теоретические сведения
- •Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)
- •Метод неопределенных коэффициентов
- •Примеры решения типовых задач
- •Задания для самостоятельной работы
- •9.9. Приложение дифференциальных уравнений в экономике Краткие теоретические сведения
- •Примеры решения типовых задач
- •Задачи для самостоятельной работы
Уравнение я. Бернулли
Дифференциальное уравнение
(4.7)
где , а также любое уравнение, с помощью алгебраических преобразований приводящееся к уравнению (4.7), называется уравнением Бернулли.
При ДУ (4.7) – линейное, а при – с разделяющимися переменными. В общем случае оно сводится к линейному с помощью подстановки .
Действительно, если , тогда . Разделим уравнение (4.7) на , получим:
.
После применения подстановки уравнение примет вид:
или после умножения обеих частей полученного уравнения на :
. (4.8)
Уравнение (4.8) является линейным относительно . Решив его одним из описанных выше методов, найдем , а затем и .
Уравнение Бернулли можно решать методом Бернулли в виде
,
т.е. не сводя его к линейному ДУ.
Примеры решения типовых задач
Пример 1. Найти общий интеграл линейного неоднородного ДУ
.
Решение. Решим уравнение методом Бернулли, т.е. будем искать решение ДУ в виде . Здесь .
Сделаем подстановку Бернулли:
, .
Решим уравнение , найдем его частное решение.
Разделяем переменные .
Полагая , выбираем частное решение . Далее находим общее решение уравнения , где . Имеем:
.
Общее решение исходного уравнения имеет вид:
.
Пример 2. Решить задачу Коши для ДУ
, .
Решение. Запишем уравнение в виде:
.
Полученное уравнение есть уравнение вида (4.6). Сведем его к уравнению (4.6*), считая и :
–
линейное относительно .
Используем метод Лагранжа. Решим линейное однородное ДУ:
.
Заменяем произвольную постоянную функцией , решение ищем в виде:
.
Находим производную: . Подставляем и в исходное уравнение, получаем:
.
Находим :
.
Решим интеграл .
Последний интеграл решается методом интегрирования по частям, получаем:
.
Таким образом, общим решением данного уравнения является
.
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям . Подставляем в полученное общее решение , имеем:
.
Искомое частное решение имеет вид:
.
Пример 3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
.
Решение. Перепишем уравнение в виде:
.
Поделим обе части уравнения на ( ), получим:
–
это уравнение Бернулли ( ). Поделим на и сделаем замену , получаем:
.
Общее решение последнего линейного ДУ имеет вид (по формуле 4.5):
,
т.е. .
Сделаем обратную замену, получим – общее решение исходного ДУ.
Пример 4. Решить задачу коши для ДУ
,
Решение. Заменим , получаем:
.
Обе части полученного уравнения поделим на :
–
это есть уравнение Бернулли относительно переменной .
Решим его методом Бернулли, т.е. с помощью подстановки , .
Получаем:
.
Решим (найдем частное решение) уравнение (найдем частное решение). Разделяем переменные, а затем интегрируем:
.
Найдем общее решение уравнения, где :
.
Следовательно, общее решение исходного ДУ примет вид:
.
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:
.
Получаем частное решение:
.
Задания для самостоятельной работы
n9.10. Решить линейные неоднородные ДУ:
а) ; |
б) ; |
в) ; |
г) ; |
д) ; |
е) ; |
ж) ; |
з) . |
n9.11. Решить линейные неоднородные ДУ, относительно переменной х:
а) ; |
б) ; |
в) ; |
г) ; |
д) ; |
е) ; |
ж) ; |
з) . |
n9.12. Решить уравнения Я. Бернулли:
а) ; |
б) ; |
в) ; |
г) ; |
д) ; |
е) ; |
ж) ; |
з) . |
n9.13. Решить задачу Коши для указанных ДУ:
а) ; |
б) ; |
в) ; |
г) ; |
д) ; |
е) ; |
ж) ; |
з) . |
Ответы
9.5. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
Краткие теоретические сведения
Уравнения в полных дифференциалах
Уравнение вида:
(5.1)
называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть есть полный дифференциал некоторой функции , т.е.
.
В этом случае ДУ (5.1) можно записать в виде , а его общий интеграл будет
. (5.2)
Искомая функция должна удовлетворять требованиям
и . (5.3)
Теорема. Для того чтобы левая часть уравнения (5.1), где функции и и их частные производные и непрерывны в области , было полным дифференциалом, необходимо и достаточно выполнение условия:
. (5.4)
Таким образом, при решении ДУ вида (5.1) сначала проверяют выполнение условия (5.4). Затем, используя равенства (5.3), находят функцию . Решение записывают в виде (5.2).
Также общий интеграл уравнения (5.1) можно найти с помощью одной из следующих формул:
, (5.5)
, (5.6)
где .