Интегрирующий множитель
Если условие (5.4) не выполняются, то ДУ (5.1) не является уравнением в полных дифференциалах.
Такое
уравнение иногда можно свести к ДУ в
полных дифференциалах умножением его
на некоторую функцию
,
которая называется интегрирующим
множителем.
Если у данного уравнения существует интегрирующий множитель, зависящий только от , то он находится по формуле:
,
где
отношение
должно являться функцией только от
.
Аналогично, интегрирующий множитель,
зависящий только от
,
определяется по формуле:
,
где
отношение
должно являться функцией только от
(отсутствие
в этих отношениях в первом случае
,
а во втором
является признаком существования
интегрирующего множителя рассматриваемого
вида).
Примеры решения типовых задач
Пример 1. Найти общий интеграл уравнения в полных дифференциалах
.
Решение.
Здесь
.
Так как
и
,
то выражение
является полным дифференциалом некоторой
функции
.
При этом
и
– непрерывные функции. Тогда
1)
и 2)
.
Найдем функцию , интегрируя по левую и правую части равенства 1, получим:
.
Чтобы найти , продифференцируем последнее выражение по :
.
Учитывая равенство 2, запишем уравнение
,
откуда находим:
.
Подставляя найденное в выражение для функции , получаем:
.
Таким образом, общий интеграл уравнения имеет вид:
.
Пример
2. Найти
частное решение уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям
.
Решение. Запишем данное уравнение в виде:
.
Имеем:
,
.
Значит, данное уравнение не является ДУ в полных дифференциалах. Используем интегрирующий множитель. Запишем отношение
.
Поэтому данное уравнение имеет интегрирующий множитель, зависящий только от .
Найдем этот интегрирующий множитель:
.
Умножим
исходное уравнение на
,
получим уравнение:
,
которое,
как нетрудно убедиться, уже является
ДУ в полных дифференциалах. Действительно,
имеем
.
Следовательно,
левая часть полученного уравнения имеет
вид
.
Таким образом,
1)
и 2)
.
Интегрируя первое из этих равенств по , находим:
.
При
вычислении интеграла
использовали метод интегрирования по
частям:
.
Найдем производную по от полученной функции:
.
Применяем равенство 2, получаем:
.
Следовательно, общий интеграл имеет вид:
.
Найдем
частное решение, удовлетворяющее
начальным условиям, т.е. подставим в
общий интеграл
,
получим:
.
Получаем частное решение
.
Задания для самостоятельной работы
n9.14. Найти общий интеграл ДУ:
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
д)
|
е)
|
ж)
|
з)
|
;
;
;
;
;
;
;
.n9.15. Найти общий интеграл ДУ, используя интегрирующий множитель:
а)
|
б)
|
в)
|
г) |
д) |
е)
|
ж)
|
з)
|
;
;
;
;
;
;
;
.n9.16. Решить задачу Коши для данных ДУ:
а)
|
б)
|
в)
|
г) |
д) |
е)
|
ж) |
з)
|
;
;
;
;
;
;
;
.n9.17. Решить ДУ различных типов, найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям там, где необходимо:
а)
|
б)
|
в) |
г)
|
д)
|
е)
|
ж)
|
з)
|
;
;
;
;
;
;
;
.
Ответы