Задания для самостоятельной работы
n9.26. Найти общее решение ДУ:
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
д)
|
е)
|
ж)
|
з)
|
;
;
;
;
;
;
;
.n9.27. Найти общее решение ДУ:
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
д)
|
е) |
ж)
|
з)
|
;
;
;
;
;
;
;
.n9.28. Найти решение задачи Коши:
а)
|
б)
|
в)
|
г) |
д)
|
е) |
ж)
|
з)
|
;
;
;
;
;
;
;
.Ответы
9.9. Приложение дифференциальных уравнений в экономике Краткие теоретические сведения
В данном параграфе рассматриваются примеры применения ДУ для описания процессов макроэкономической динамики.
Пусть
– объем продукции некоторого производителя,
реализованный моменту времени
.
Пусть цена на данный товар остается
постоянной (в пределах рассматриваемого
промежутка времени). Тогда функция
удовлетворяет уравнению:
,
(9.1)
где
,
– норма инвестиций,
– продажная цена,
– коэффициент пропорциональности между
величиной инвестиций и скоростью выпуска
продукции.
Уравнение (9.1.) является уравнением с разделяющимися переменными (см. п. 2). Его решение имеет вид:
,
(9.2)
где y0=y(t0).
Уравнение (9.1.) описывает также рост народонаселения, динамику роста цен при постоянной инфляции и т.д.
Предположение
о неизменности цены (о ненасыщаемости
рынка) на практике оказывается справедливым
только для узких временных промежутков.
В общем случае цена
является убывающей функцией от объема
реализованной
продукции (
).
Тогда уравнение (1.1) принимает вид:
,
(9.3)
оставаясь тем не менее уравнением с разделяющимися переменными.
Уравнение (9.3.) описывает также рост народонаселения при наличии (естественных) ограничений для этого роста, динамику развития эпидемий, процесс распространения рекламы и т.д.
Эластичность спроса относительно цены определяется формулой:
.
В некоторых случаях представляет интерес функция спроса при данной эластичности.
В простейших ситуациях спрос на товар (предложение товара) предполагается зависящим только от его цены. В более сложных случаях в расчет принимается также зависимость спроса (предложения) от скорости изменения цены.
Примеры решения типовых задач
Пример
1. Пусть национальный доход
возрастает со скоростью, пропорциональной
его величине т. е. имеет место уравнение
(9.1)
и пусть, кроме того, дефицит в расходах
правительства прямо пропорционален
доходу
(при коэффициенте пропорциональности
).
Дефицит в расходах приводит к возрастанию
национального долга
:
.
Здесь мы считаем переменные и непрерывными и дифференцируемыми функциями времени .
Пусть
начальные условия имеют вид
и
при
.
Из первого уравнения мы получаем,
учитывая начальные условия,
.
Подставляя
во второе уравнение, получаем
.
Общее решение этого уравнения имеет
вид, где
,
которую мы определим из начальных
условий. Подставляя начальные условия
в полученное решение, мы получаем
.
Итак, окончательно:
,
т.е. национальный долг возрастает с той же относительной скоростью , что и национальный доход.
Пример
2. В условиях ненасыщаемости рынка
найти объем производства по истечении
6 месяцев, если в начальный момент времени
объем производства
(усл. ед.), при норме инвестиций 0,6,
продажной цене равной 0,15 (усл. ед.) и
.
Решение.
Подставляя в формулу (9.2) все заданные
значения и учитывая, что
,
имеем:
(усл. ед.).
Пример 3. Функции спроса и предложения на некоторый товар имеют вид:
а)
Найти зависимость равновесной цены от
времени, если
.
б) Является ли равновесная цена устойчивой?
Решение. а) Из условия равенства спроса и предложения, имеем:
,
откуда
,
т.е. получаем уравнение с разделяющимися переменными.
Решением этого уравнения является функция
.
Из
условия
следует, что
.
Так, что окончательно
.
б)
Так как
,
то цена устойчивостью не обладает.
Пример
4. Сберегательный
счет приносит 6% годовых, начисляемых
непрерывно, и непрерывные отчисления
денег со счета по 900 рублей ежегодно.
Составьте дифференциальное уравнение,
которому удовлетворяет количество
денег
в счете в момент времени t.
Постройте интегральные кривые этого
уравнения.
Решение.
Вначале
будем игнорировать факт непрерывных
отчислений денег со счета. Когда проценты
начисляются непрерывно, как известно
(см. стр. _), наращенная
сумма на счете
является
показательной функцией числа лет t:
,
здесь М
– исходная сумма, r
– годовая процентная ставка. Следовательно
удовлетворяет дифференциальному
уравнению:
или
в данном случае
.
Таким образом, сберегательный счет растет со скоростью, пропорциональной размеру счета и процентной ставке.
Пусть теперь происходят непрерывные отчисления со счета в размере 900 рублей в год. Тогда имеются два фактора влияния на сумму на счете – начисление процентов и вычеты денег. Скорость изменения – результат влияния этих факторов. Функция теперь удовлетворяет уравнению:
y’ = 0,06y – 900.
Приравнивая y’ = 0, получим y = 900/0,06 = 15000. Это означает, что если начальное количество денег на счете y(0) в счете будет равно 15000 рублей, то это количество денег всегда будет оставаться неизменным поскольку скорость изменения суммы y’ = 0. Если начальное количество будет больше, чем 15000, то на сберегательном счете накопит деньги будут накапливаться. Если начальное количество будет меньше чем 15000, то сумма на счете будет уменьшаться (по-видимому, банк прекратит вычеты денег, когда баланс счета достигнет ноля).
Решение дифференциального уравнения имеет вид
,
C≡const.
Графики скорости изменения суммы денег на счете и интегральные кривые сумм представлены на рис. 1.: