2.4 Основи теорії подібності
Нагадаю що математичний опис процесів конвективного теплообміну складається з повної системи диференціальних рівнянь (можна замість рівнянь Нав’є-Стокса прийняти і інші рівняння руху), додаються умови однозначності, додається диференціальне рівняння тепловіддачі.
Але існуючі математичні
методи ще не дійшли до розв’язку цієї
системи рівнянь. А як же бути (як визначити
коефіцієнт тепловіддачі) – доводиться
цю задачу розв’язувати експериментальним
шляхом.
Тепловий потік можна знайти з першого
закону термодинаміки. Ми отримуємо
коефіцієнт тепловіддачі для певних
дослідних умов. А нам треба розповсюдити
результати одиничного досліду на цілу
групу явищ. Що дозволяє
зробити теорія подібності.
Вперше поняття подібності введено в
геометрії де конкретні геометричні
розміри тіл замінялися безрозмірними
величинами що давало можливість одним
рівнянням описати цілу групу подібних
геометричних тіл. Поняття подібності
розповсюджується на любе фізичне явище.
Фізичні явища рахуються
подібними, якщо вони
відносяться до одного і того ж класу,
протікають в геометрично подібних
системах і подібні всі однорідні фізичні
величини, які описують ці явища.
Однорідними називаються
такі величини,
які мають один і той же фізичний зміст
і однакову розмірність.
Теорія подібності зосереджена в 3 теоремах подібності: перша і друга формулюють основні властивості подібних між собою явищ, а третя встановлює признаки, за якими можна визначити чи подібні явища які розглядуються.
Перша: подібні явища мають однакові критерії подібності.
Критерії подібності – безрозмірні комплекси, які однакові для всього класу подібних явищ. Вони виводяться з диференціальних або інтегральних рівнянь, що описують дане явище. Які існують критерії подібності зупинимося пізніше.
Друга теорема: будь-яка
залежність між величинами, які
характеризують подібні явища може бути
замінена залежністю між критеріями
подібності. Остання залежність –
критеріальне рівняння.
.
Теорема показує як треба обробляти
отримані дослідні дані (яку
форму критеріального рівняння вибрати).
Треті теорема: Подібні ті явища, умови однозначності яких подібні, а критерії подібності які складені з умов однозначності чисельно рівні. Або подібні ті явища у яких однойменні критерії подібності одинакові.
2.5 Критерії подібності конвективного теплообміну
Аналіз рівнянь конвективного теплообміну дозволяє отримати наступні основні критерії або числа подібності:
- критерій Грасгофа який
характеризує підйомну силу, яка виникає
внаслідок різної густини теплоносія,
або співвідношення між силами Архімеда
і силами в’язкого тертя. Доводить
подібність гідродинамічну при природній
конвекції. Визначається за формулою
де
-
коефіцієнт об’ємного розширення;
;
- визначальний лінійний розмір (найбільш
характерний);
-
коефіцієнт кінематичної в’язкості.
- критерій Рейнольдса –
характеризує співвідношення між силами
інерції і силами в’язкого тертя, або
режим руху теплоносія при вимушеній
конвекції. Визначається
- де
-
швидкість руху теплоносія;
-
густина теплоносія,
-
коефіцієнт динамічної в’язкості.
Наприклад для круглих труб при
- ламінарний режим; а при
-
турбулентний режим.
- критерій Фур’є вводиться
коли вивчається нестаціонарна
тепловіддача. Визначається
-
-
коефіцієнт температуропровідності,
-
час.
- критерій Пеклє – характеризує
співвідношення між тепловим потоком
що передається макрорухом до мікрорухів
(відношення між теплопровідністю та
тепловіддачею). Визначається
.
Коли
то
переважає теплопровідність.
- критерій Прандтля (Людвіг
Прандтля) – характеризує вплив
теплофізичних властивостей на теплообмін
або визначає фізичні властивості
теплоносія. Визначається
;
- критерій Нуссельта –
характеризує інтенсивність конвективного
теплообміну на границі теплоносія.
Визначається
.
Всі вирази для визначення критеріїв подібності виводяться з системи диференціальних рівнянь конвективного теплообміну.
Критерії діляться на групи:
- визначальні – про які іде мова в 3 теоремі подібності;
- визначувані – всі інші, вони
залежать від визначальних. Наприклад
один з них.
Параметри які входять до рівнянь критеріїв , , повинні бути задані умовами однозначності. Наприклад задається визначальна температура – при якій температурі визначаються теплофізичні властивості теплоносія. Також задається визначальний розмір.