48.Моделювання позики держави й накопичений борг.

Історично склалися різні точки зору на проблему державного боргу, які суттєво еволюціонують. Тезу щодо вигідності боргових позик можна аргументувати за допомогою простої детермінованої моделі, котру можна узагальнити на підставі стохастичних процесів щодо формування й сплати боргу. Нехай обсяг номіналу державного боргу становить F, а ринкова безризикова ставка відсотка r є постійною величиною, додатньою і незалежною від обсягів боргів. Припустимо, що раціонально діючий емітент, як і власник боргів, зацікавлений у зростанні ринкової вартості боргу, що полегшує йому обслуговування боргу й дещо послаблює обмеження стосовно до обсягів нових позик. Емітент сплачує повну вартість номіналу (обсяг позики плюс відсотки), борги не списуються, й уряд не займається скуповуванням чи продажем своїх боргів.

Борг, що буде сплачений упродовж періоду часу dt, зміниться на величину dB=-rBdt отже, має ринкову вартість, тобто вартість, приведену до поточного моменту, що дорівнює B(t)=Fexp{-rt}, де B(T)=F. Це буде справедливим, якщо держава протягом періоду dt не робить нових боргів, а відсотки не нарощуються. В цьому разі держава як законослухняний боржник, маючи можливість відкласти на dt повернення номіналу, насправді втрачає лише ринкову вартість боргу. Для цього, звичайно, повинна існувати можливість сплати боргу в момент часу t=dt, наприклад, дострокового викуплення облігацій. Якщо, окрім цього, норма дисконту настільки велика, що уряд може запозичити на вільному ринку з темпом α > 0, тобто dV= αVdt, то в результаті початковий обсяг боргу зростатиме й складатиме на момент t обсяг V^(t)=Fexp(αt). Ця величина дисконтується за тією самою ставкою r, а тому дорівнюватиме V(t)=[Fexp(αt)]exp[-rt]=Fexp[-(r- α)t].

Отже, для будь-якого моменту t у майбутньому номінальна вартість боргу, що повертається, становить величину F, тимчасом як його ринкова вартість становить величину B(t), якщо уряд не бере більше в борг, чи V(t), якщо він бере нові запозичення на вільному ринку. Але нові позики можуть повертатися дещо пізніше, отже, в момент t емітент боргів отримує певний виграш, що виникає завдяки можливості відкласти повернення боргу, який становить f(t)=[V(t)-B(t)]. Вважатимемо, що емітент зацікавлений у максимізації цього виграшу, що еквівалентно максимізації вартості можливості відкласти повернення боргу до моменту t*: max{ V(t*)-B(t*)}=max{ F[exp(αt*)-1]exp(-rt*)} Дана ситуація має економічний сенс для 0 < а < г, тобто коли темп нових запозичень не перевищує величини ринкової ставки відсотка.. t*- мом. часу , для якого різниця в ринковій вартості боргу, що повертається, буде максимальною :

А наліз показує, що можливість брати позики має вартість f(t), яка залежить від динаміки боргу. У загальному випадку існування можливості брати в борг визначається довірою інвесторів до держави, що у свою чергу залежить від здатності держави повертати борги, від репутації держави як платника боргів.

Водночас держава щодо нових боргів має свободу вибору: вона може як брати, так і не брати борги залежно від конкретних обставин., вартість боргу на вільному ринку: f(v)=max{V-B,0}.