36.Модель Солоу. “3олоте” правило накопичення.

У моделі Солоу економічна система розглядається як єдине ціле, виробляючи лише один узагальнений продукт, котрий може і споживатись, і інвестуватись. Стан економіки в моделі Солоу задається п'ятьма ендогенни­ми змінними: Х- валовий суспільний продукт (ВСП), С- фонд невиробничого споживання, I- інвестиції, L- кількість зайня­тих, К- виробничі фонди. Окрім цього, в моделі фігурують такі екзогенні (що задаються поза системою) показники: v - річний темп приросту чисельності зайнятих, μ - частка вибулих протя­гом року основних виробничих фондів, а - коефіцієнт прямих витрат (частка проміжного продукту у валовому внутрішньому продуктові), ρ - норма накопичення (частка валових інвестицій у ВВП). Межі екзогенних параметрів:-1<v<1, 0<μ<1, 0<a<1, 0<ρ<1.

Робиться припущення, що ендогенні змінні змінюються в часі. Екзогенні змінні вважаються постійними в часі. Вважається, що норма накопичення є керуючим параме­тром, тобто в деякий початковий момент часу t₀ = 0 вона може встановлюватись керуючим органом системи на будь-якому рівні в межах області допустимих значень. Час t вважають неперерв­ним і таким, що вимірюється в роках. Значення показників типу потоку Х=Х(t), І=І(t), С=С(t) у момент часу t = [t]+ {t} визначається у вигляді накопичених про­тягом року, що починається на 365{t} днів пізніше 1 січня року [t].

Робиться припущення, що річний випуск у кожен момент часу визначається лінійно-однорідною неокласичною виробничою функцією від двох змінних (ресурсів) К та L.

X=F(K,L). (13.1)

Розглянемо, як змінюються ресурсні показники впродовж ма­лого проміжку часу Δt. Згідно з означенням темпу приросту чи­сельності зайнятих

ΔL/L=vΔt, або dL/dt=vL,

Отже, здійснюючи інтегрування, маємо:

LnL=vt+lnA, L=Aexp(vt).

Використовуючи початкову умову L(0)=L₀, отримаємо

L=L₀exp(vt).

Зношеність фондів та інвестиції з розрахунку на рік дорівню­ють μK та І відповідно, а протягом часу Δt - відповідно μK Δt, IΔt, тому приріст фондів упродовж цього часу

ΔK= -μK Δt+ IΔt, звідки отримаємо диференціальне рівняння: dK/dt= -μK+I, K(0)=K₀.

Оскільки проміжний продукт становить аХ, то валовий внут­рішній продукт дорівнює (1 - а)Х.

Інвестиції І = р(1 - а)Х, а фонд споживання С = (1 - р)(1 - а)Х. Отже, отримаємо таку формалізовану модель Солоу в абсолют­них показниках:

L=L₀exp(vt); dK/dt=-μK+ р(1 - а)X, K(0)=K₀;

X=F(K,L);

I=+ р(1 - а)X; С = (1 - р)(1 - а)Х. (13.2)

На рис. 13.1 наведена схема функціонування економіки згідно з моделлю Солоу.

Рис. 13.1. схемі функціонування економіки за Солоу

Уведемо також такі відносні показники:

k=K/L – фондоозброєність; x=X/L – народогосподарська продуктивність праці; i=I/L – питомі інвестиції (на одного зайнятого); c=C/L – середньодушове споживання (на одного зайнятого).

Оскільки x=F(K,L)/L=F(K/L,1)=f(k);

i= р(1 - а)Х; c= (1 - р)(1 - а)x;

dK/dt=d(kL)/dt=vLk+Ldk/dt,

то модель Солоу набуває такої форми в питомих (відносних) по­казниках:

dk/dt=-λk+ р(1 - а)f(k), λ=μ+v, K(0)=k₀=K₀/L₀;

x=f(k)

i=+ р(1 - а)f(k);

c= (1 - р)(1 - а) f(k). (13.3)

Кожен абсолютний чи відносний показник змінюється в часі, тобто можна вести мову про траєкторію сис­теми в абсолютних чи відносних показниках. Траєкторію називають стаціонарною якщо показники не змінюються в часі:

k=k⁰=const, x=x⁰=const, i=i⁰=const, c=c⁰=const.

На стаціонарній траекторії dk⁰/dt=0, тому

-λk⁰+ р(1 - а) f(k⁰)=0, (13.4)

або λk⁰= р(1 - а) f(k⁰).

Оскільки функція F(K,L)- неокласична, то f(0) = 0, f ' > 0, f" < 0.

Якщо, окрім цього, задати умову р(1-a)f '(0)>λ, то рівняння (13.4) матиме єдиний відмінний від нульового розв'язок k⁰, що можна побачити на рис. 13.2.

рис 13.2

На рис. 13.2, окрім точки k⁰, що показує стаціонарний рівень фондоозброєності, через k^ позначено рівень фондоозброєності, за якою швидкості зростання функцій g₁(k)= λk та

g₂(k)= р(1-а)f(k) є рівними, тобто k^ - корінь рівняння р(1 - а) f ' (k^)= λ (13.5)

ПЕРЕХІДНИЙ РЕЖИМ У МОДЕЛІ СОЛОУ

Якщо k₀=k⁰, то економіка вже перебуває на стаці­онарній траєкторії й може зійти з неї лише за зміни зовнішніх умов. Якщо k₀≠k⁰ , то в економіці відбуватиметься перехідний про­цес, котрий (гіпотетично) завершиться встановленням стаціонар­ного режиму. Протягом перехідного режиму фондоозброєність задовольняє рівняння

dk/dt=-λk+ р(1 - а) f(k), k(0)=k⁰, (13.6)

окрім цього, як видно на рис. 13.2, dk/dt>0, якщо k<k⁰, та dk/dt <0, k>k⁰.

Диференціюючи (13.6) за часом, знайдемо, що

d²k/dt²=dk/dt[ р(1 - а) f '(k)- λ] (13.7)

звідки видно, що коли k<k⁰ та k<k^, матимемо, що d²k/dt²>0, а коли k<k⁰, k>k^,то навпаки. d²k/dt²<0, коли ж k>k⁰, то завжди буде d²k/dt²>0, оскільки k^<k⁰.

Дослідимо детальніше перехідний процес у випадку, коли ви­робнича функція є функцією Кобба-Дугласа:

F(K,L)=AK^aL^1-a, тоді

f(k)=Ak^a, k^=[αρ(1-a)A/λ]^1/(1-α), k⁰= [αρ(1-a)A/λ]^1/(1-α),

а рівняння (13.6) набере вигляду

dk/dt=-λk+ ρ(1-a)Ak^α, k(0)=k₀, (13.8)

Зазначимо, що коли здійснити заміну k=e^-λtu, u=e^λtk, то отримаємо для u рівняння зі змінними, що розділяються:

du/u^α= ρ(1-a)Ae^{(1-α) λ t}dt, u(0)=k₀,

котре має такий розв'язок:

u(t)=[ ρ(1-a)Ae^{(1-α) λ t} / λ+k₀^1-α - ρ(1-a)A/ λ] ^1/(1-α)

або - з використанням значення стаціонарної фондоозброєності

u(t)=[(k⁰)^1-αe^{(1-α) λ t}+k₀^1-α - (k⁰)^1-α] ^1/(1-α)

Повертаючись до фондоозброєності, отримаємо

k(t)=[ (k⁰)^1-α+e^{-(1-α) λ t}(k₀^1-α-( k⁰)^1-α)] ^1/(1-α)

звідки видно, що

Відповідно до (13.7) отримуємо три типи перехідного процесу стосовно до фондоозброєності:

1) якщо k₀<k^ - спочатку має місце прискорене зростання фондоозброєності, яке після досягнення значення Іі змінюється сповільненим зростанням;

2) якщо k^< k₀<k⁰ -сповільнене зростання фондоозброєності;

3) якщо k₀ >k⁰ - сповільнене зниження фондоозброєності («проїдання» фондів).

Па рис. 13.3 показані усі три типи переходу фондоозброєності до стаціонарного значення k⁰ (криві 1-3 відповідно).

Аналогічно змінюється й решта відносних показників (х, і, с), оскільки вони пропорційні k^α.

Рис. 13.3. Типи переходу до стаціонарного стану

Отже, якщо k^< k₀<k⁰, має місце досить короткотривалий перехідний процес.

«ЗОЛОТЕ» ПРАВИЛО НАКОПИЧЕННЯ

Сутність «золотого» правила накопичення полягає в тому, що, обираючи належним чином норму накопичення, можна максимізувати середньодушове споживання в стаціонарному режимі, а отже, і через відносно невеликий проміжок часу після поточного перехідного процесу.

Дійсно,

c⁰(ρ)=(1- ρ)(1-a)A( k⁰)^α = (1- ρ)*

*(1-a)A [ρ(1-a)A/ λ] ^1/(1-α)=B[g(ρ)] ^1/(1-α),

де

B=[(1-a)A/ λ^α] ^1/(1-α), g(ρ)= ρ^α (1- ρ)^1-α.

Неважко помітити, що середньодушове споживання цілковито визначається функцією g(ρ) (оскільки В не залежить від ρ).

Маємо

dg/ dρ=[ρ/(1-ρ)]^α[(α- ρ)/ ρ]

тому

dc⁰/d ρ >0, якщо ρ <α, dc⁰/d ρ0< 0, якщо ρ >α.

Отже, найбільше середньдушове споживання досягатиметься тоді, коли ρ* >α, тобто норма накопичення повинна бути рівною еластичності випуску за фондами. Як показують дані, на практиці норма накопичення завжди е меншою за своє оптимальне зна­чення (р < α), тобто має місце недонакопичення (рис. 13.4).

Ділянка Ділянка

недонакопиченпя перенакопич

Рис. 13.4. Середньодушове споживання в стаціонарному режимі

ВИГРАШ У ПОТОЧНОМУ СПОЖИВАННІ - ПРОГРАШ У НАЙБЛИЖЧІЙ ПЕРСПЕКТИВІ

Якщо замість норми накопичення р = а встановити дещо мен­шу (р < а) норму накопичення р^~ = р-Δр, то на початку процесу поточне середньодушове споживання зросте з c₀ =(1-р)А k₀^α до c^~₀=(1-p+Δp)A k₀^α.

Але цей виграш протягом досить нетривалого інтервалу часу і спочатку стане малопомітним, а потім перетвориться у програш, оскільки якщо р < а, то згідно з (13.9) стаціонарне споживання -

c⁰=c⁰(ρ)> c⁰(ρ-Δ ρ)=c^~0.

Загальна порівняльна картина зміни середньодушового спо­живання для випадку першого ρ = α та другого ρ < α показана на рис. 13.5.

Рис 13.5. Порівняння стратегії поточних норм споживання