- •Ширапов д.Ш.
- •Глава 1. Погрешности приближенных вычислений и основные теоремы ………………………………………...
- •Глава 2. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений ……………………………….
- •Глава 3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений ………………………..
- •Глава 4. Методы решения задач на собственные значения и собственные вектора………………………………
- •Введение
- •Глава 1. Погрешности приближенных вычислений и основные теоремы
- •Погрешности приближенных вычислений
- •Обусловленность системы линейных алгебраических уравнений
- •1.3. Основные теоремы
- •Доказательство
- •Доказательство
- •Доказательство
- •Глава 2. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •2.1. Метод Гаусса
- •2.2. Метод Гаусса с выбором главного элемента
- •2.3. Алгоритм вычисления определителя матрицы
- •2.4. Алгоритм вычисления обратной матрицы
- •2.5. Метод Халецкого
- •2.6. Метод квадратных корней
- •2.7. Метод прогонки
- •Глава 3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •3.1. Метод простой итерации
- •3.1.1. О сходимости итерационных процессов для систем линейных алгебраических уравнений
- •3.1.2. Оценки погрешности метода простой итерации
- •3.2. Метод Зейделя
- •3.3. Метод релаксации
- •3.4. Каноническая форма двухслойных итерационных методов
- •3.4.1. Каноническая форма метода простой итерации
- •3.4.2. Каноническая форма метода Зейделя
- •3.4.3. Теоремы двухслойных итерационных методов
- •3.5. Вариационно-итерационные методы
- •3.5.1. Метод минимальных невязок
- •3.5.2. Метод скорейшего спуска
- •Глава 4. Методы решения задач на собственные значения
- •4.1. Устойчивость задачи на собственные значения
- •4.2. Метод вращения Якоби
- •4.2.1. Различные варианты метода Якоби
- •4.3. Степенной метод
- •4.4. Обратный степенной метод
- •4.5. Итерационный метод
- •4.6. Методы для матриц, не принадлежащих к специальному классу
- •4.7. Обобщенная задача на собственные значения
- •4.7.1. Обобщенный метод Якоби
- •4.7.2. Метод приведения обобщенной задачи к стандартной
- •Задание № 2.2
- •Задание № 2.3
- •Задание № 2.4
- •Задание № 2.5
- •Задание № 2.6
- •Задание № 2.7
- •Задания к главе 3 Задание № 3.1
- •Задание № 3.2
- •Задания к главе 4 Тестовые примеры
- •Задание для индивидуального выполнения
- •Литература
Глава 3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
В главе будут описаны итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
Ax=b. (3.1)
При решении системы уравнений (3.1) итерационным методом отыскивается последовательность векторов x(k) такая, что
(3.2)
Введем понятие вектора погрешности
z(k) =x(k)-x (3.3)
и вектора невязок
R(k)=Ax(k)-b . (3.4)
Из формулы (3.2) следуют, что
Отметим, что в отличие от вектора погрешности z(k) вектор невязок R(k) может быть вычислен. Поэтому очень часто в качестве условия окончания итераций выбирают
, где 0<<1. (3.5)
Условие (3.5) является не вполне корректным, покажем это. Действительно, из (3.3) имеем
Az(k)=Ax(k)-b= R(k) ,
z(k)=A-1 R(k) ,
С другой стороны
Следовательно,
или
, (3.6)
где – число обусловленности матрицы А. Из (3.6) следует, что лишь для хорошо обусловленных систем (3.1) относительная малость векторов невязок R(k) влечет за собой относительную малость векторов погрешности z(k). Для таких задач условие (3.5) является корректным.
Для плохо обусловленной системы (3.1) относительная малость векторов невязок R(k) не влечет относительную малость векторов погрешности z(k). Для таких задач условие (3.5) является не вполне корректным.
3.1. Метод простой итерации
Для описания метода простой итерации [2-4, 6, 11] распишем систему (3.1)
(3.7)
Полагая, что коэффициенты aii0 (i=1, 2,…, n) разрешим первое уравнение из (3.7) относительно х1 , второе относительно х2 и т.д. Тогда получим
(3.8)
где i=bi/aii , ij=-aij/aii при ij, ij=0 при i=j,
(i,j=1, 2,…,n).
Вводя обозначения
, ,
перепишем систему уравнений (3.8) в матричной форме
х=+х . (3.9)
Систему уравнений (3.9) будем решать методом последовательных приближений. За нулевое приближение примем столбец свободных членов
х(0)= ,
где индекс (0) – номер нулевого приближения.
Дальше строим последовательность
х(1)= +х(0) ,
х(2)= +х(1) ,
………….. (3.10)
х(k+1)= +х(k) .
Если последовательность приближений х(0) , х(0) ,…, х(k) ,… имеет предел , то этот предел будет решением системы уравнений (3.8).
Таким образом, алгоритм метода простой итерации для решения СЛАУ будет следующим
Итерация заканчивается при выполнении условия
, где 0<<1.