- •Ширапов д.Ш.
- •Глава 1. Погрешности приближенных вычислений и основные теоремы ………………………………………...
- •Глава 2. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений ……………………………….
- •Глава 3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений ………………………..
- •Глава 4. Методы решения задач на собственные значения и собственные вектора………………………………
- •Введение
- •Глава 1. Погрешности приближенных вычислений и основные теоремы
- •Погрешности приближенных вычислений
- •Обусловленность системы линейных алгебраических уравнений
- •1.3. Основные теоремы
- •Доказательство
- •Доказательство
- •Доказательство
- •Глава 2. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •2.1. Метод Гаусса
- •2.2. Метод Гаусса с выбором главного элемента
- •2.3. Алгоритм вычисления определителя матрицы
- •2.4. Алгоритм вычисления обратной матрицы
- •2.5. Метод Халецкого
- •2.6. Метод квадратных корней
- •2.7. Метод прогонки
- •Глава 3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •3.1. Метод простой итерации
- •3.1.1. О сходимости итерационных процессов для систем линейных алгебраических уравнений
- •3.1.2. Оценки погрешности метода простой итерации
- •3.2. Метод Зейделя
- •3.3. Метод релаксации
- •3.4. Каноническая форма двухслойных итерационных методов
- •3.4.1. Каноническая форма метода простой итерации
- •3.4.2. Каноническая форма метода Зейделя
- •3.4.3. Теоремы двухслойных итерационных методов
- •3.5. Вариационно-итерационные методы
- •3.5.1. Метод минимальных невязок
- •3.5.2. Метод скорейшего спуска
- •Глава 4. Методы решения задач на собственные значения
- •4.1. Устойчивость задачи на собственные значения
- •4.2. Метод вращения Якоби
- •4.2.1. Различные варианты метода Якоби
- •4.3. Степенной метод
- •4.4. Обратный степенной метод
- •4.5. Итерационный метод
- •4.6. Методы для матриц, не принадлежащих к специальному классу
- •4.7. Обобщенная задача на собственные значения
- •4.7.1. Обобщенный метод Якоби
- •4.7.2. Метод приведения обобщенной задачи к стандартной
- •Задание № 2.2
- •Задание № 2.3
- •Задание № 2.4
- •Задание № 2.5
- •Задание № 2.6
- •Задание № 2.7
- •Задания к главе 3 Задание № 3.1
- •Задание № 3.2
- •Задания к главе 4 Тестовые примеры
- •Задание для индивидуального выполнения
- •Литература
Задание № 2.6
Приведенные здесь варианты решить методом квадратных корней:
А= , b= .
А= , b= .
А= , b= .
А= , b= .
А= , b= .
А= , b= .
Ответ: х1=0.4, х2=0.5, х3=0.6, х4=0.5.
7) А= , b= .
Ответ: х1=1.04625, х2=0.56278, х3=0.11100, х4=-0.22812.
8) А= , b= .
Ответ: х1=-7, х2=-2, х3=-1, х4=-4, х5=9.
9) А= , b= .
Ответ: х1=-6, х2=-5, х3=-8, х4=5, х5=-7.
10) А= , b= .
Ответ: х1=-7, х2=-2, х3=-1, х4=-4, х5=9.
Задание № 2.7
Приведенные варианты СЛАУ решить методом прогонки:
А= , b= . 2) А= , b= .
Ответ: х1=0, х2=0.66667, Ответ: х1=1, х2=1,
х3=1.33333, х4=2. х3=1, х4=1.
3) А= ,
b= , Ответ: х= .
4) А= , b= . 5) А= , b= .
Ответ: х1=2, х2=2, Ответ: х1=1.6, х2=-0.6,
х3=2, х4=2. х3=-0.8, х4=1.
6) А= , b= . 7) А= , b= .
Ответ: х1=-6, х2=-4, Ответ: х1=-1, х2=-3,
х3=-1, х4=2. х3=-5, х4=-7.
8) А= , b= . 9) А= , b= .
Ответ: х1=5, х2=3, Ответ: х1=-0.2222, х2=1.8889,
х3=-8, х4=-18. х3=1.4444, х4=2.
10) А= , b= . Ответ: х= .
Задания к главе 3 Задание № 3.1
Нижеприведенные варианты СЛАУ решить методом простой итерации и методом Зейделя:
1) А= , b= . Ответ: x= .
2) А= , b= . Ответ: х= .
3) А= , b= . Ответ: х= .
4) А= , b= . Ответ: х= .
5) А= , b= . Ответ: х= .
6) А= , b= . Ответ: х= .
7) А= , b= . Ответ: х= .
8) А= , b= . Ответ: х= .
А= , b= . Ответ: х= .
10) А= , b= . Ответ: х= .
Задание № 3.2
Приведенные здесь варианты СЛАУ решить методом релаксации:
1) 2х1+3х2+20х3- х4=-10, 2) х1- 5х2+6х3+13х4=15,
3х1+2х2+ х3+20х4=15, х1+10х2- х3+ 2х4=10,
10х1- х2+ 2х3- 3х4=1, 3х1+ 4х2-15х3- 8х4=8,
х1+10х2- х3+ 2х4=5. 15х1- 2х2+ 3х3- 6х4=5.
Ответ: х1=0.3111, х2=0.3722, Ответ: х1=1.0602, х2=0.4256,
х3=-0.5772, х4=0.195. х3=-1.1501, х4=1.7668.
3) 3х1+7х2- 8х3- 19х4=8, 4) 6х1- 9х2+ х3-17х4=8,
5х1- 8х2+15х3-1.5х4=7, х1+ 7х2-11х3-2.5х4=15,
2х1+ 6х2-2.5х3- х4=10, -5х1+10х2+3х3-1.5х4=12,
7х1+2х2- 3х3+1.5х4=6. 9х1- 3х2- 4х3+1.5х4=10.
Ответ: х1=0.8465, х2=1.8536, Ответ: х1=2.0438, х2=2.0159,
х3=1.1637, х4=-0.0944. х3=0.2868, х4=-0.7996.
5) -х1+4х2+ 7х3+13х4=7, 6) -5х1+ х2- 6х3-13х4=10,
-6х1+3х2-11х3-1.5х4=11, 3х1+4х2-12х3+4х4=11,
3х1+7х2- 2х3+ х4=8, -2х1-15х2+7х3- 4х4=9,
5х1- х2+ 3х3+0.5х4=5. 11х1+ 5х2-3х3+2.5х4=13.
Ответ: х1=2.2550, х2=-1.0038, Ответ: х1=1.5732, х2=-1.1289,
х3=-2.8524, х4=2.5567. х3=-1.2018, х4=-0.9065.
7) х1-7х2+ 3х3- 12х4=5, 8) 3х1+ 2х2- 7х3-14х4=12,
-5х1-3х2+15х3+ 6х4=10, -4х1- х2+10х3+4х4=10,
-2х1+8х2+ 3х3- 2х4=9, 5х1-16х2+ 4х3- 5х4=15,
7х1- х2+ 5х3+0.5х4=7. 11х1- 6х2+ 3х3- х4=9.
Ответ: х1=0.3366, х2=0.6671, Ответ: х1=0.2387, х2=0.1065,
х3=1.1122, х4=-0.4997. х3=1.7780, х4=-1.6798.
9) 5х1-6х2+ х3+14х4=10, 10) х1- 8х2+5х3-15х4=11,
-3х1+7х2-13х3+ 2х4=8, -х1+ 7х2+12х3- 2х4=9,
х1-10х2+ 6х3- 2х4=9, 3х1-11х2+ 4х3- 3х4=10,
9х1+5х2- 3х3+ х4=7. 13х1+ 6х2- 5х3+1.5х4=12.
Ответ: х1=1.2105, х2=-1.8826, Ответ: х1=1.363, х2=-0.1370,
х3=-1.9676, х4=-0.3843. х3=0.8985, х4=-0.2699.