4.4. Обратный степенной метод

Обратный степенной метод [6, 9, 11, 12] используется для нахождения наименьшего по модулю собственного значения и соответствующего собственного вектора матрицы. При этом метод применяется к обратной матрице A^-1, так как собственные значения последней обратны к собственным значениям матрицы А.

Пусть А=A^* и

₁<₂<…<_n-1<_n. (4.24)

Выберем произвольный вектор z₀ таким, что

(z₀, x₁)0

и образуем последовательность

z_k+1=A^-1z_k . (4.25)

Так как собственные значения _i матрицы A^-1 связаны с собственными значениями _i матрицы А соотношением

_i_i=1 ,

имеем

_max=1/_min=1/₁=₁.

Покажем, что

= (4.26)

или

= +О( ). (4.27)

Формулы (4.25) – (4.27) составляют алгоритм определения наименьшего по модулю собственного значения матрицы А.

Далее разложим вектор z₀ по собственным векторам матрицы А

z₀= ,

z₁=A^-1z₀= ,

z₂=A^-1z₁= ,

………………

z_k= ,

z_k+1= .

Тогда

(z_k, z_k)= ,

(z_k+1, z_k)= .

Поэтому

=

=_n . (4.28)

Из (4.28) следует сходимость обратного степенного метода, и будем иметь

 (k=0, 1, 2,…),

что подтверждает (4.27).

Для нахождения собственного вектора х₁ можно воспользоваться формулой (4.25). Тогда получим

z_k+1= = x_i= .

При k z_k+1 , следовательно, вектор z_k+1 будет отличаться от вектора х₁ множителем . При определении собственного вектора х₁ требуется нормировка вычисляемых векторов z_k+1 .

4.5. Итерационный метод

Пусть А=А^* >0 , тогда распишем систему уравнений

(А-Е)х=0 (4.29)

относительно собственного значения ₁ и собственного вектора матрицы А

или

(4.30)

Поскольку компоненты собственных векторов определяются с точностью до постоянной, то одну из них можно задать произвольно, например, за исключением особого случая, можно положить =1. Систему (4.30) можно решить методом итерации, следующим образом при начальных значениях

Итерация заканчивается при выполнении условия

где 0<<1.

Таким образом, находится первое собственное значение

и первый собственный вектор

.

Для определения второго собственного значения ₂ и второго собственного вектора х⁽²⁾ обратимся к системе

(4.31)

Из соотношения ортогональности

(4.32)

исключается одно из неизвестных , например . Тогда система (4.31) заменится эквивалентной

(4.33)

Здесь новые преобразованные коэффициенты. Далее, полагая, что =1 и при заданных начальных значениях решается система уравнений (4.33) методом итерации:

В результате будут найдены второе собственное значение ₂ и второй собственный вектор х⁽²⁾ матрицы А, при чем n-я компонента этого вектора находится из условия ортогональности (4.32). Аналогично находятся остальные _j (j=3,4,…,n) и соответствующие им собственные векторы х^(j).