2.3. Алгоритм вычисления определителя матрицы

Определение 2.2. Если все главные миноры матрицы А n-го порядка отличны от нуля, то есть

а₁₁0, 0, …, detA0, (2.11)

то проведение процесса исключения без перестановок гарантируется.

Определение 2.3. Если для матрицы А условия (2.11) выполнены, то определитель этой матрицы равен произведению ведущих элементов в методе последовательного исключения Гаусса.

Пусть выполнены условия (2.11), тогда

detA=a₁₁ , (2.12)

где _1j=a_1j/a₁₁, (j>1).

Дальше поступаем, как в методе Гаусса. Первую строку определителя (2.12) умножаем на а₂₁ и вычитаем из второй строки. Затем первую строку определителя (2.12) умножаем на а₃₁ и вычитаем из третьей строки и т.д. (такие преобразования не изменяют величины определителя). Тогда получим

detA=a₁₁ =а_{11 .}

Дальше повторим, тогда будем иметь

detA=a₁₁ , (2.13)

где _2j= / , (j>2).

Дальше, первую строку определителя (2.13) умножаем на и вычитаем из второй строки. Затем первую строку определителя (2.13) умножаем на и вычитаем из третьей строки и т.д. Тогда получим

detA=a₁₁ = a_{11 .}

Повторим описанную выше процедуру, тогда получим

detA=a₁₁ = a₁₁

и т.д. пока не получим

detA=a₁₁ ._…. , (2.14)

где = - _к-1к , _к-1к= / ,

(k=2, 3,…,n).

Замечание 2.2. Если при detA0 условия (2.11) не выполнены, то реализация процесса исключения включает в себя перестановки соответствующих строк. При этом измениться только знак определителя, так как перестановка двух строк влечет перемену знака определителя. Для сохранения нужного знака определителя надо в формуле (2.11) приписывать нужный знак ведущим элементам, которые вычислялись с перестановкой строк.

2.4. Алгоритм вычисления обратной матрицы

Из линейной алгебры известно, что

АА^-1=Е , (2.15)

где Е – единичная матрица, А^-1 – обратная матрица.

Если обозначить i-й столбец обратной матрицы через y_i= , а i-й столбец единичной матрицы через е_i= , то (2.15) можно переписать в виде

АА^-1=(Ау₁, Ау₂,…, Ау_n)=(е₁, е₂,…, е_n)=Е или

Аy_i=e_i , (i=1, 2, …, n).

Рассмотрим расширенную матрицу

. (2.16)

Процесс исключения (прямой ход) будем проводить для всех строк расширенной матрицы (2.16).

Пусть а₁₁0, тогда первая строка матрицы (2.16) будет такой после деления на а₁₁

(1, ₁₂, ₁₃,…, _1n, ₁₁, ₁₂,…, _1n ), (2.17)

где _1j=a_1j/a₁₁, (j>1), _1j=e_1j/a₁₁ , (j1).

С помощью строки (2.17) исключим все элементы первого столбца a_i1 матрицы (2.16) для которых i>1. В результате получим

, (2.18)

где =a_ij-a_i1_1j , (i, j2), =e_ij-e_i1_1j , (i2, j1).

На следующем этапе разделим вторую строку матрицы (2.18) на 0, тогда эта строка примет вид

(0, 1, ₂₃, ₂₄,…, _2n, ₂₁, ₂₂,…, _2n ), (2.19)

где _2j= / , (j>2), _2j= / , (j1).

Используя строку (2.19) исключим все элементы второго столбца при i>2 матрицы (2.18). Тогда получим

,

где = - _2j , (i, j3), = - _2j , (i3, j1).

Продолжая, таким образом, окончательно получим

,

где _kj= / , (jk+1), _kj= / , (j1),

= - _kj , (i, jk+1), = - _kj , (ik+1, j1).

На этом заканчивается процесс исключения – прямой ход. Дальше реализуется обратный ход, для этого решается система уравнений

= , (i=1, 2,…,n),

что позволяет найти все столбцы обратной матрицы А^-1

у₁= ,…, y_n= .