3.3. Метод релаксации

Имеем систему уравнений

(3.19)

Для описания метода релаксации [2, 3, 9, 11] преобразуем систему (3.19) следующим образом. Перенесем свободные члены налево и разделим первое уравнение на -а₁₁, второе на -а₂₂ и т.д. Тогда получим

(3.20)

где b_ij=-a_ij/a_ii , (ij), c_i=b_i/a_ii , (i,j=1, 2,…, n).

Пусть х⁽⁰⁾=( ) – начальное приближение, тогда подставляя его в (3.20) получим невязки

(3.21)

Если в (3.21) одной из неизвестных дать приращение  , то соответствующая невязка уменьшится на  , а остальные невязки (iк) увеличатся на величину b_ik , (i=1, 2,…, n; ik; k=1, 2,…,n ).

Следовательно, чтобы обратить невязку в нуль, достаточно величине дать приращение

 = ,

тогда будем иметь следующую систему уравнений на первой итерации

= ,

далее, чтобы на m – ой итерации обратить в нуль невязку дадим переменной приращение

 = .

Тогда получим систему уравнений

= .

Процесс итерации заканчивается, когда все невязки последней преобразованной системы будут равны нулю с требуемой точностью.

В методе рекомендуется на каждой итерации обращать в нуль максимальную по модулю невязку путем изменения значения, соответствующей компоненты приближения.

Алгоритм метода релаксации будет таким.

Задается начальное приближение

х⁽⁰⁾=( ).

Вычисляются невязки начального приближения

.

Находим величину а_к= , которой соответствует невязка и приращение

 = .

Дальше вычисляются невязки первого приближения

=

и т.д.

Затем находим величину а_к= , которой соответствует невязка и приращение

 = , что позволяет вычислить невязку m-го приближения

=

и т.д. m=m+1, m+2,…, M. M.

Итерация заканчивается при выполнении условия

где 0<<1.

Неизвестные вычисляются по формуле

x_i=

Замечание. Описанный здесь метод называется полной релаксацией. Если в процессе полной релаксации для системы уравнений (3.19) с положительно-определенной матрицей выполнено условие: Последовательность индексов i компонент x_i (i=1, 2,…, n) имеет интервал повторяемости L , т.е. на каждом отрезке длины L индекс i принимает хотя бы по одному разу все числа 1, 2,…, n , то процесс сходится к решению системы (3.19), где L – любое натуральное число.

3.4. Каноническая форма двухслойных итерационных методов

Если при решении СЛАУ

Ax=b (3.22)

итерационным методом для вычисления вектора решений x^(k+1) используется только значения предыдущей итерации x^(k), то такой метод называется двухслойным или одношаговым. Если x^(k+1) вычисляется через значения двух итерации x^(k) и x^(k-1) , то метод называется трехслойным или двухшаговым. Здесь рассмотрим только двухслойные методы.

Отметим, что важную роль в итерационных методах играет запись их в канонической форме. Для приведения (3.22) к канонической форме представим матрицу системы в виде

A=B-C, (3.23)

где В – невырожденная матрица.

Из (3.22) и (3.23) получим

x=B^-1Cx+B^-1b.

Тогда итерации можно проводить по формуле

x^(k+1)=x^(k)-B^-1(Ax^(k)-b) или

B(x^(k+1)-x^(k))+ Ax^(k)=b . (3.24)

Для ускорения сходимости итерационных методов в формулу (3.24) водят числовые параметры, которые могут зависеть от номера итерации. Тогда вместо (3.24) используется

В + Ax^(k)=b, (3.25)

где ₁, ₂,…, _k+1,… - итерационные параметры.

_k+1>0 , k=0, 1, 2,…

Если В=Е – единичный оператор, то формула (3.25) примет вид

+ Ax^(k)=b.

Отметим, что в общем случае матрица В может зависеть от номера итерации k , ниже мы предполагаем, что матрица В не зависит от номера итерации.

Итерационный метод (3.25) называется стационарным, если _k+1= не зависит от номера итерации, в противном случае – нестационарным.