Введение

В настоящее время вычислительная математика ориентирована, прежде всего, на использование современных вычислительных систем и компьютеров. Любые практические задачи начинаются, как правило, с разработки математических моделей.

Главной задачей данного учебного пособия является изложение теорий и алгоритмов вычислительных методов решения основных задач линейной алгебры, в рамках требований предъявляемым государственными стандартами к дисциплине «Вычислительная математика», предназначенной для студентов инженерных специальностей высших учебных заведений.

Как известно, основными задачами линейной алгебры являются: решение систем линейных алгебраических уравнений, решение полной и частичной проблем собственных значений. Поэтому темы, рассмотренные в учебном пособии условно можно разделить на две части: численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений и численные методы решения задач на собственные значения. Изложение и описание численных методов построены с ориентацией на широкое использование студентами компьютеров.

В целом учебное пособие состоит из введения, четырех глав, приложения и из списка литературы.

В введении, сжато, изложены основное назначение и краткое содержание учебного пособия по главам.

В первой главе рассмотрены погрешности приближенных вычислений и даны основные теоремы, на которые опираются те или иные методы.

Во второй главе изложены прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

В третьей главе рассматриваются итерационные методы решения СЛАУ.

В четвертой главе описаны численные методы решения задач на собственные значения.

В приложении приводятся задания для лабораторных работ, рассчитанные для выполнения тем или иным методом на компьютере.

При подготовке учебного пособия использовалась литература, список которого приведен в конце. Так как методы, приведенные в учебном пособии описаны много раз, в различных вариантах и изложены в разных изданиях. Поэтому точно, установить авторство многих методов, почти, невозможно. Вследствие этого некоторые издания из этого списка литературы приведены без ссылки, но они могут быть рекомендованы студентам, в качестве учебной литературы.

Глава 1. Погрешности приближенных вычислений и основные теоремы

На практике очень редко приходится иметь дело с точными числами. Обычно результаты измерений всегда являются приближенными, прежде всего вследствие ограниченной точности измерительных приборов. Действительно, каждый измерительный прибор имеет шкалу, на которой промежутки деления не могут быть как угодно малыми. Следовательно, на практике имеем дело с приближенными числами, содержащими ошибки любого происхождения.

Поэтому в главе кратко рассматривается круг вопросов, связанных с погрешности приближенных вычислений и даются основные теоремы, используемые при разработке численных методов решения задач линейной алгебры.

1. Погрешности приближенных вычислений

Погрешности численного решения различных задач обусловлены следующими основными причинами:

1. неточностью математической модели, в частности неточно заданы исходные данные описания;

2. приближенным характером методов решения;

3. операции округления в вычислительной технике.

Погрешности, вызванные этими причинами, называют, соответственно:

А) неустранимой погрешностью,

Б) погрешностью метода,

В) вычислительной погрешностью.

Введем следующие обозначения:

х – точное значение параметра;

- значение параметра, соответствующее принятой модели;

– значение численного решения, полученное по принятой модели, в предположении отсутствия ошибок округлений;

x_h – приближенное решение задачи, получаемое при реальных вычислениях.

Тогда

₁= х - – неустранимая погрешность;

₂= - – погрешность численного решения;

₃= - x_h– погрешность вычисления.

Таким образом, полная погрешность равняется

_о=₁+₂+₃=х- x_h.

Определение 1.1. Если х точное значение, а x_h – приближенное значение некоторого параметра, то абсолютная погрешность  определяется формулой

= х- x_h.

Определение 1.2. Относительная погрешность  этого же параметра вычисляется по формуле

= х- x_h/x_h.