- •1. Обобщенные приемы познавательной деятельности процесса поиска решения задач: функциональный подход.
- •2. Обобщенные приемы познавательной деятельности процесса поиска решения задач: динамизация геометрических объектов на плоскости
- •3. Обобщенные приемы познавательной деятельности процесса поиска решения задач: динамизация геометрических объектов в пространстве
- •Установление области определения.
- •Установление области изменения при заданной области определения.
- •Установление способа движения по множеству значений, при указанном способе движения по области определения.
- •Обобщенные приемы познавательной деятельности процесса поиска решения задач: аналогия, обобщение, конкретизация.
- •5. Обобщенные приемы познавательной деятельности процесса поиска решения задач: Метод математической индукции
- •6 . Обобщенные приемы познавательной деятельности процесса поиска решения задач: использование классических неравенств.
- •7.Функциональный подход в поиске решений задач: использование монотонности.
- •8.Функциональный подход в поиске решений задач: ограниченность (метод крайнего).
- •9.Функциональный подход в поиске решений задач: четности.
- •10.Функциональный подход в поиске решений задач: решение задач, содержащих целую и дробную часть числа.
- •Виды задач
- •Методы решения
- •12. Олимпиадные задачи. Основы теории чисел: простые числа, алгоритм Евклида.
- •13.Олимпиадные задачи. Инварианты. Полуинварианты.
- •14. Олимпиадные задачи, решаемые с использованием принципа Дирихле.
- •15. Комбинаторные задачи, приемы и методы их решения
- •16. Задачи на раскраски, укладки, замощения.
- •17. Диофантовы уравнения.
- •18. Логические задачи, решаемые с помощью графов
- •19. Логические задачи, решаемые с помощью составления таблиц истинности.
- •20. Олимпиадные задачи с геометрическим содержанием
- •21. Задачи - игры
- •22. Олимпиадные задачи с параметрами. Методы их решения.
- •23. Применение векторов к решению аффинных задач в пространстве.
- •24.Применение векторов к решению метрических задач в пространстве.
- •25.Векторно-координатный метод определения угла между прямыми.
- •Алгоритм векторно-координатного метода:
- •26.Векторно-координатный метод определения угла между прямой и плоскостью.
- •27.Векторно-координатный метод определения угла между двумя плоскостями
- •Алгоритм векторно-координатного метода:
- •Решение:
- •28.Векторно-координатный метод определения расстояния между фигурами.
- •29. Задачи на отыскание наибольшего и наименьшего значений геометрической величины.
- •30.Цилиндр. Решение задач на нахождение элементов цилиндра.
- •31.Конус. Решение задач на нахождение элементов конуса.
- •32.Усеченный конус. Решение задач на нахождение элементов конуса
- •33.Шар и сфера. Решение задач на нахождение элементов шара и сферы.
- •34. Части сферы и шара. Решение задач на нахождение элементов частей сферы и шара.
- •35.Комбинация шара с цилиндром.
- •36.Комбинация шара с конусом и усеченным конусом.
- •37.Комбинация конуса и усеченного конуса.
- •38.Взаимное расположение двух сфер.
- •43.Описанные многогранники.
- •44.Вписанные многогранники.
16. Задачи на раскраски, укладки, замощения.
Метод раскраски.
Суть метода вспомогательной раскраски состоит в следующем. Раскрасив некоторые ключевые элементы, которые фигурируют в задаче в несколько цветов, исследовать, что будет происходить, если выполнять условия задачи. Цвет позволяет значительно упростить понимание процесса, фигурируемого в условии, и зачастую приводит к решению. Этот метод позволяет эффективно решать ряд задач, в частности, игровые и шахматные задачи.
17. Диофантовы уравнения.
ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ - алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений, решения которых отыскиваются в целых или рациональных числах. Обычно предполагается, что Д. у. имеют число неизвестных, превосходящее число уравнений, в связи с чем они называются также неопределенными уравнениями.
Диофантовыми уравнениями называются уравнения вида , где - многочлен с целыми коэффициентами.
При исследовании диофантовых уравнений обычно ставятся следующие вопросы:
имеет ли уравнение целочисленные решения;
конечно или бесконечно множество его целочисленных решений;
решить уравнение на мн-ве целых чисел, т. е. найти все его целочисленные решения;
решить уравнение на множестве целых положительных чисел;
решить уравнение на множестве рациональных чисел.
Решить уравнение в целых числах (уравнение с одним неизвестным).
Решение: свободный член уравнения 1. Делители свободного члена уравнения: ±1. Старший коэффициент уравнения 1. Положительные делители старшего коэффициента: 1. Следовательно, все целые корни уравнения находятся среди чисел {-1,1}. Подставляя в уравнение заключаем, что только является корнем этого уравнения.не пральна
Диофантовы уравнения с двумя и более неизвестными подразделяются на уравнения первой степени и уравнения высших степеней.
Д. у. первой степени или так называемые линейные уравнения имеют вид , где .
Простейшим видом уравнений в целых числах являются уравнения вида , где - заданные целые числа, . Для решения уравнения (1) в целых числах потребуются некоторые факты.
Диофантовы уравнения высших степеней
Методы решения:
метод разложения на множители;
выражение одной переменной через другую и выделение целой части дроби;
решение уравнений как квадратных относительно одной из переменных;
использование чётности;
доказательство неразрешимости уравнений с использованием сравнений;
и другие методы решения диофантовых уравнений.
18. Логические задачи, решаемые с помощью графов
Графом называется любое множество точек, некоторые из которых соединены линиями или стрелками. Точки, изображающие элементы множества, называют вершинами графа, соединяющие их отрезки – рёбрами графа. Точки пересечения рёбер графа не являются его вершинами. Во избежание путаницы вершины графа часто изображают не точками, а маленькими кружочками. Рёбра иногда удобнее изображать не прямолинейными отрезками, а дугами.
19. Логические задачи, решаемые с помощью составления таблиц истинности.
Таблица истинности - это табличное представление логической схемы (операции), в котором перечислены все возможные сочетания значений истинности входных сигналов (операндов) вместе со значением истинности выходного сигнала (результата операции) для каждого из этих сочетаний. Таблица истинности логического выражения - это таблица, содержащая значения логического выражения, полученные на всех значениях, входящих в него логических переменных.
Правила для построения таблиц истинности:
Необходимо определить количество строк в таблице истинности.
К=2n, где n-количество переменных; К-количество строк.
Определить количество столбцов (количество переменных + количество логических операций).
Ввести названия столбцов таблицы в соответствии с последовательностью выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов.
Заполнить столбцы логических переменных наборами значений.
Заполнить таблицу истинности по столбцам, выполняя базовые логические операции в необходимой последовательности и в соответствии с их таблицами истинности.