34. Части сферы и шара. Решение задач на нахождение элементов частей сферы и шара.

Ш аровым сегментом называется часть шара, отсеченная от него плоскостью. Если OP – радиус шара, перпендикулярый отсекающей плоскости, то точку P назовем в этом случае полюсом шара. Высотой шарового сегмента называется отрезок PO₁, соединяющий полюс шара с центром основания шарового сегмента.

Шаровой сегмент можно рассматривать как тело, образованное вращением кругового сегмента вокруг диаметра, перпендикулярного его хорде. Формулу объема шарового сегмента выводят так же, как и формулу объема шара, но интегрируют на промежутке (0; H) (H – высота шарового сегмента):

Шаровым сектором называется тело, образованное вращением кругового сектора вокруг оси, содержащей один из его граничных радиусов.

Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса. Поэтому его объем является суммой объемов шарового сегмента V₁ и конуса V₂:

35.Комбинация шара с цилиндром.

36.Комбинация шара с конусом и усеченным конусом.

37.Комбинация конуса и усеченного конуса.

Следует объяснить учащимся, что при решении различных задач на комбинацию конуса и усеченного конуса достаточно изобразить их сечение плоскостью, проходящей через ось конуса. В таком случае решение стереометрической задачи сводится к решению задачи планиметрической на комбинацию трапеции и треугольника.

Задача 1.  Трапеция со сторонами 2, 2, 2 и 4 вращается вокруг прямой, лежащей в плоскости трапеции и проходящей через одну из вершин большего основания перпендикулярно этому основанию. Найдите объем тела вращения.

Решение. Пусть трапеция ABCD, у которой AB = BC = CD = 2, AD = 4, вращается вокруг прямой m, проходящей через вершину D перпендикулярно основанию AD. На рисунке 1 изображено осевое сечение полученного тела вращения (плоскость сечения проходит через ось вращения m). Это сечение состоит из двух равных и симметричных относительно прямой m трапеций ABCD и PMKD, которые равными прямоугольными треугольниками COD и KOD (O = m ∩ BC) дополняются до равных прямоугольных трапеций ABOD и PMOD. Это означает, что объем тела, полученного при вращении трапеции ABCD, равен разности объема усеченного конуса, полученного при вращении прямоугольной трапеции ABODвокруг прямой m, и объема конуса, полученного при вращении прямоугольного треугольника COD вокруг прямой m. Найдем объем тела вращения.

Высота конусов равна OD. Отрезки BO = r и AD = R являются радиусами соответственно верхнего и нижнего оснований усеченного конуса, а отрезок OC — радиус основания прямого кругового конуса с вершиной D. Найдем объемы этих конусов.

Проведем отрезок BT параллельно CD. Тогда из равенств BT = CD = AB = BC и BC = TDследует, что AB = BT = AT, откуда треугольник ABT — правильный, в котором 

При этом BM = 3BC = 6 (CK = AT = BC), значит,

(OD — серединный перпендикуляр BM). Тогда

и искомый объем тела вращения равен

Ответ:    куб. ед.

38.Взаимное расположение двух сфер.

Возможны следующие случаи взаимного расположения двух различных сфер в пространстве:

1. Сферы не имеют ни одной общей точки, причем одна из них расположена вне другой. Необходимое и достаточное условие: сумма радиусов меньше расстояния между центрами сфер.

2. Сферы не имеют ни одной общей точки, причем одна из них расположена внутри другой. Необходимое и достаточное условие: модуль разности радиусов больше расстояния между центрами сфер.

3. Сферы пересекаются (имеют более одной общей точки). Необходимое и достаточное условие: расстояние между центрами меньше суммы радиусов, но больше модуля их разности. Пересечение двух сфер есть окружность.

4. Сферы касаются внешним образом (т.е. имеют общую точку и общую касательную плоскость в этой точке, причем центры сфер расположены по разные стороны от этой плоскости). Необходимое и достаточное условие: сумма радиусов равна расстоянию между центрами сфер.

5. Сферы касаются внутренним образом (т.е., имеют общую точку и общую касательную плоскость в этой точке, причем центры сфер расположены по одну сторону от этой плоскости). Необходимое и достаточное условие: модуль разности радиусов равен расстоянию между центрами сфер.

6. Сферы концентричны (т.е. их центры совпадают, а радиусы различны).

39.Комбинация цилиндра с многогранниками.

40.Комбинация конуса с многогранниками.

41.Комбинации усеченного конуса с многогранниками.

42.Комбинация шара с многогранниками.

1. Центр шара, вписанного в многогранник, лежит в точке пересечения биссекторных плоскостей всех двугранных углов многогранника. Он расположен только внутри многогранника.

2. Центр шара, описанного около многогранника, лежит в точке пересечения плоскостей, перпендикулярных ко всем ребрам многогранника и проходящих через их середины. Он может быть расположен внутри, на поверхности и вне многогранника.

Теорема: В любую треугольную пирамиду можно вписать шар и притом единственный.

Доказательство:Пусть SABC – треугольная пирамида. Центр шара, вписанный в трехгранный угол с вершиной S, лежит на его пространственной биссектрисе L – геометрическом месте точек – центров всех сфер, касающихся граней трехгранного угла (l – есть пересечение биссекторных плоскостей двухгранных углов, образующих трехгранный угол). Центр шара, вписанного в двухгранный угол с ребром AB, лежит на его биссекторной плоскости α. L и α пересекаются в единственной точке O, которая одинаково удалена от всех граней пирамиды. Точка O – центр единственного шара, вписанного в пирамиду.

Следствие: Центр шара, вписанного в треугольную пирамиду – есть точка пересечения биссекторных плоскостей всех двугранных углов пирамиды.

Шар называется описанным около пирамиды, если все вершины пирамиды принадлежат шару.

Теорема: Через четыре точки общего положения можно провести сферу и притом единственную.

Доказательство:Пусть S₁A₁B₁C – четыре точки общего положения, l – прямая, перпендикулярная плоскости ABC и проходящая через центр ∆АВС, α – плоскость, перпендикулярная отрезку SA и проходящая через его середину. Тогда , O – центр шара, проходящего через данные четыре точки.

Теорема:Если в пирамиду вписан шар, то его центр является точкой пересечения биссекторных плоскостей всех двугранных углов пирамиды.

Доказательство:Центр шара, вписанного в пирамиду, будучи равноудаленным от всех граней пирамиды, находится на каждой из биссекторных плоскостей двугранных углов пирамиды, т.е. является точкой пересечения всех биссекторных плоскостей.

Теорема: Если около пирамиды описан шар, то его центром является точка пересечения всех плоскостей, проведённых через середины рёбер пирамиды, перпендикулярно к этим рёбрам.

Доказательство:Известно, что множество точек, равноудалённых от двух вершин, является плоскость, проведённая через середину ребра перпендикулярно к нему. Поэтому центр шара, описанного около пирамиды, будучи равноудалённым от всех вершин пирамиды, находится на каждой из таких плоскостей, то есть является точкой их пересечения.

Замечание:Центр описанного около пирамиды шара лежит на перпендикуляре, проведённым через центр окружности, описанной около основания пирамиды.

Теорема: Около пирамиды можно описать сферу тогда и только тогда, когда её основание – многоугольник, около которого можно описать окружность.

Призма называется вписанной в шар, если все ее вершины лежат на поверхности шара. Основания призмы в данном случае вписаны в параллели шара, плоскости которых находятся на одинаковом расстоянии от центра.

Теорема:Для того чтобы около призмы можно было описать шар необходимо и достаточно, чтобы призма была прямой, и около ее оснований можно было описать окружности.

Замечание: Если около призмы описан шар, то его центр совпадает с серединой высоты призмы, проведенной через центры окружностей, описанных около оснований призмы.

Шар, в частности, можно описать около:

1. всякой прямой треугольной призмы;

2. всякого прямого параллелепипеда

3. всякой правильной n – угольной призмы.

Призма называется описанной около шара, если она касается его всеми своими гранями. Боковые грани призмы касаются шара в точках, расположенных на его экваторе.

Если призма описана около шара, то:

1. призма прямая;

2. высота призмы равна диаметру шара;

3. основания призмы – многоугольники, которые можно вписать в окружность.