- •1. Обобщенные приемы познавательной деятельности процесса поиска решения задач: функциональный подход.
- •2. Обобщенные приемы познавательной деятельности процесса поиска решения задач: динамизация геометрических объектов на плоскости
- •3. Обобщенные приемы познавательной деятельности процесса поиска решения задач: динамизация геометрических объектов в пространстве
- •Установление области определения.
- •Установление области изменения при заданной области определения.
- •Установление способа движения по множеству значений, при указанном способе движения по области определения.
- •Обобщенные приемы познавательной деятельности процесса поиска решения задач: аналогия, обобщение, конкретизация.
- •5. Обобщенные приемы познавательной деятельности процесса поиска решения задач: Метод математической индукции
- •6 . Обобщенные приемы познавательной деятельности процесса поиска решения задач: использование классических неравенств.
- •7.Функциональный подход в поиске решений задач: использование монотонности.
- •8.Функциональный подход в поиске решений задач: ограниченность (метод крайнего).
- •9.Функциональный подход в поиске решений задач: четности.
- •10.Функциональный подход в поиске решений задач: решение задач, содержащих целую и дробную часть числа.
- •Виды задач
- •Методы решения
- •12. Олимпиадные задачи. Основы теории чисел: простые числа, алгоритм Евклида.
- •13.Олимпиадные задачи. Инварианты. Полуинварианты.
- •14. Олимпиадные задачи, решаемые с использованием принципа Дирихле.
- •15. Комбинаторные задачи, приемы и методы их решения
- •16. Задачи на раскраски, укладки, замощения.
- •17. Диофантовы уравнения.
- •18. Логические задачи, решаемые с помощью графов
- •19. Логические задачи, решаемые с помощью составления таблиц истинности.
- •20. Олимпиадные задачи с геометрическим содержанием
- •21. Задачи - игры
- •22. Олимпиадные задачи с параметрами. Методы их решения.
- •23. Применение векторов к решению аффинных задач в пространстве.
- •24.Применение векторов к решению метрических задач в пространстве.
- •25.Векторно-координатный метод определения угла между прямыми.
- •Алгоритм векторно-координатного метода:
- •26.Векторно-координатный метод определения угла между прямой и плоскостью.
- •27.Векторно-координатный метод определения угла между двумя плоскостями
- •Алгоритм векторно-координатного метода:
- •Решение:
- •28.Векторно-координатный метод определения расстояния между фигурами.
- •29. Задачи на отыскание наибольшего и наименьшего значений геометрической величины.
- •30.Цилиндр. Решение задач на нахождение элементов цилиндра.
- •31.Конус. Решение задач на нахождение элементов конуса.
- •32.Усеченный конус. Решение задач на нахождение элементов конуса
- •33.Шар и сфера. Решение задач на нахождение элементов шара и сферы.
- •34. Части сферы и шара. Решение задач на нахождение элементов частей сферы и шара.
- •35.Комбинация шара с цилиндром.
- •36.Комбинация шара с конусом и усеченным конусом.
- •37.Комбинация конуса и усеченного конуса.
- •38.Взаимное расположение двух сфер.
- •43.Описанные многогранники.
- •44.Вписанные многогранники.
Методы решения
Не существует единого метода решения олимпиадных задач. Напротив, количество методов постоянно пополняется. Некоторые задачи можно решить несколькими разными методами или комбинацией методов. Характерная особенность олимпиадных задач в том, что решение с виду несложной проблемы может потребовать применения методов, использующихся в серьёзных математических исследованиях. Ниже приводится (по определению) неполный список методов решения олимпиадных задач:
Доказательство от противного
Принцип Дирихле
Решение методами другой науки (замена алгебраической задачи геометрической или физической и наоборот)
Правило крайнего
Шахматы, Решение «с конца», выяснение стратегии (задачи-игры)
Поиск инварианта
Математическая индукция
Метод итераций
Подсчёт двумя способами
Метод аналогий
Провокационный метод
Алгебраический и аналитический методы, на треугольники, на четырёхугольники, вписанные и описанные окружности около тр-ков и 4-ков, метод площадей, подобие треугольников, равенство углов(геометрия)
Вспомогательная раскраска
12. Олимпиадные задачи. Основы теории чисел: простые числа, алгоритм Евклида.
Целые числа включают в себя множество отрицательных чисел, положительных (натуральных) и число ноль.
(НОД) – это число, которое делит без остатка два числа и делится само без остатка на любой другой делитель данных двух чисел. Это самое большое число, на которое можно без остатка разделить два числа, для которых ищется НОД.
НОД чисел a, b можно найти с помощью алгоритма Евклида, который состоит в следующем.
Пусть b>0. Разделим a на b, тогда по теореме о делении с остатком:
a = bq1 + r1.
Если r1 = 0, то НОД(a, b) = b.
Если r1 ¹ 0, то разделим b с остатком на r1:
b = r1q2 + r2.
Если r2 = 0, то процесс деления закончим, а если r2 ¹ 0, то разделим r1 с остатком на r2:
r1 = r2q3 + r3.
Продолжая далее таким же образом, мы закончим процесс деления как только получится остаток равный 0.
Заметим, что такой остаток обязательно получится. В самом деле, остаток всегда меньше делителя, поэтому b > r1 > r2 > r3 > . . . и число получаемых остатков не превосходит b.
Итак, в результате указанного алгоритма получим, что:
|
a = bq1 + r1, |
|
|
b = r1 q2 + r2, |
|
|
r1 = r2 q3 + r3, |
(1) |
|
. . . . . . . . . . . . . |
|
|
rn-2 = rn-1qn+ rn , |
|
|
rn-1 = rnqn+1 . |
|
Следовательно, НОД(a, b) = НОД(b, r1) = НОД(r1, r2) = . . . = НОД(rn-1,rn) = rn.
Следовательно, НОД чисел a и b совпадает с последним ненулевым остатком rn в алгоритме Евклида для чисел a и b.
Пример. Найти НОД(160, 72).
Применим к данным числам алгоритм Евклида:
160 = 72×2 + 16, 72 = 16×4 + 8, 16 = 8×2. (2)
Следовательно, НОД(160, 72) = 8.