Вычисление характеристик эп по заданным зарядам

Задача по нахождению характеристик ЭСП по заданному заряду относится к классу прямой задачи электростатики. Причём кроме прямой имеется и обратная задача электростатики (нахождение зарядов по заданным характеристикам поля). Как прямая, так и обратная задачи электростатики рассматривают задачу о нахождении характеристик поля создаваемым точечным зарядом q.

Напряжённость ЭСП (направление и модуль этого вектора) найдём исходя из закона кулона и определения напряжённости. Для этого в точке А помещаем единичный пробный положительный заряд. Если заряд q является положительным, то заряд отталкивается и вектор напряжённости будет направлен так, как показано на рисунке. Подставим величину заряда в закон кулона и получаем, что напряжённость определяется как:

- вектор направленный из точки 0 в точку А.

Для нахождения потенциала находим взаимосвязь:

- найдём исходя из общего определения потенциала. Потенциал на бесконечность равен нулю.

, при

Для нахождения потенциала поля создаваемого системой заряженных тел удобно использовать принцип суперпозиции. Согласно которому система разбивается на подсистемы, находят характеристики электрического поля в искомой точке пространства создаваемого каждой подсистемой, а результирующую характеристику поля создаваемого всей системой определяют как алгебраическую ( в случае потенциала) либо геометрическую (в случае напряжённости) сумы соответствующих характеристик всех подсистем. В случае непрерывного распределения заряда систему удобно разбить на элементарные подсистемы причём каждая из них подобна точечному заряду. И искомые характеристики ищем в соответствии с выше изложенным алгоритмом.

В качестве примера рассмотрим некоторое заряженное тело в котором заряд распределен с объемной плотностью ρ. Данную систему можно разбить на подсистемы элементарных зарядов. . Каждый такой заряд можно уподобить точечному заряду q, а поэтому потенциал ЭП:

Для нахождения потенциала поля созданного всей системой производим сложение выше названных потенциалов. Реально сложение сводится к интегрированию по всему объёму. Часто бывает необходимость искать потенциал в точке отсчитываемой от какой либо точки наблюдения (Например точка 0). При этом положение элементарного заряда dq определяется с помощью радиус вектора ri. В этом случае элементарный потенциал поля созданного зарядом dqi в точке А будет определяться следующим образом.

Дифференциальные уравнения для потенциала

Дифференциальные уравнения для потенциала можно получить используя уравнение обобщающее закон Кулона (теорема Гаусса) и полученное нами выражение связывает напряжённость и потенциал.

Учитывая что

Полученное дифференциальное уравнение второго порядка называется уравнением Пуассона. Данное уравнение справедливо для однородной среды в которой имеет место распределение электрического заряда с объёмной плотностью ρ. Решение данного уравнения выглядит следующим образом.

где: r – расстояние от элемента dV до точки наблюдения. В том случае если в некоторой области пространства отсутствует заряд с объёмной плотностью ρ, то уравнение Пуассона вырождается в уравнение Лапласа.

(*)

На основе уравнения Лапласа формулируется первая и вторая краевые задачи электростатики. Краевые задачи являются базовым элементом математической физики. Части физики которая занимается созданием математического аппарата для описания наиболее общих физических процессов. В основе всякой краевой задачи лежит дифференциальное уравнение и граничные условия которые накладываются на функцию являющуюся решением дифференциального уравнения или на функцию которая связана с функцией решения дифференциального уравнения. Как первая так и вторая краевые задачи электростатики строятся на уравнении Лапласа (*), нов первой краевой задаче граничные условия накладываются на функцию потенциала. То есть потенциал задан на некоторой поверхности S1 и он равен φ1, задается на некоторой поверхности S2 и он равен φ2 и так до φn – Это первая краевая задача.

Вторая краевая задача так же строится на уравнении Лапласа ( ; ), но граничные условия накладываются на функцию заряда. Заряд qi задается на некоторой поверхности Si.

Как первая так и вторая краевые задачи имеют единственное решение. Единственность как первой так и второй краевой задачи лежит в обосновании физических методов имеющих прикладное значение.