Колебания и волны
Колебание – это движение или процессы характеризующиеся периодической повторяемостью во времени. В зависимости от природы колебаний происходит периодическое изменение той или иной величины во времени. Так при качании маятника периодически происходит изменение координат данного маятника. При прохождении переменного тока периодически меняется во времени сила тока. В зависимости от природы колебаний различают: механические, электрические, звуковые и.т.д.
Однако для всех этих колебаний характерно единственность и схожесть процессов не смотря на различные природы происхождения. Все колебания описываются с помощью одинаковых характеристик и с помощью аналогичных уравнений. Колебания называются свободными или собственными если они совершаются в отсутствии воздействия внешних сил за счёт первоначально накопленной энергии в той системе которая способна генерировать колебания.
Колебания называются гармоническими если они меняются по закону косинуса или синуса. Они представляют значительный интерес так как данные колебания создаются техническими устройствами, а кроме того более сложные колебания можно представить в виде суперпозиции более простых гармонических колебаний.
(1)
В качестве параметров описывающих колебания можно представить следующие величины:
- амплитуда колебания (максимальное
значение которое достигается в процессе
колебательного движения);
- циклическая частота;
- начальная фаза колебания;
- фаза колебаний;
Так же в качестве характеристик колебаний вводится понятие период – это время за которое совершается одно полное колебание.
Используя периодичность функции cos можно найти взаимосвязь между периодом колебаний и частотой.
- период;
- изменяющееся время;
Число колебаний совершённых в единицу времени получило название частоты.
Между частотой и циклической частотой есть взаимосвязь:
Используя выражение для колебания и взаимосвязь меду кинематическими характеристиками определим закон изменения кинематических характеристик от некоторой величины:
Предполагаем что координата материальной точки меняется по закону:
(2)
- амплитуда скорости
Скорость колебания – величина изменяющаяся
по гармоническому закону. Причём
скорость по фазе опережает само колебание
на
.
(3)
- амплитуда ускорения
Таким образом ускорение колебания
величина меняющаяся по гармоническому
закону. Причём ускорение по фазе опережает
само колебание на
,
а скорость на
.
Используя выражение для колебания и ускорения данного колебания можно установить следующую взаимосвязь между ними:
(*)
Таким образом получили дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний. Решением данного уравнения является функция (x) описывающая свободное гармоническое колебание.
Оно является справедливым для всех свободных гармонических колебаний не зависимо от природы их происхождения. Гармонические колебания удобно изображать с помощью вращающихся векторов.
Если длине вектора сопоставить амплитуду, а угловой скорости сопоставить частоту колебания, то угол определяющий положение вектора относительно некоторого начала отсчёта в некоторый момент времени t определяет фазу колебания в этот момент времени.
Так как колебание определяется его амплитудой и фазой и вектор может быть определён с помощью длинны и угла отсчитанного от некоторого начала отсчёта, то колебание можно изобразить вращающимися векторами. На этом основан метод векторных диаграмм.