Выполнение расчетно-графических работ по ТОЭ в среде MathCAD

После эквивалентных преобразований получаем схему, представленную на рис.2.25.

Заменим "треугольник" сопротивлений RЭ1 , Rab , RЭ2 на "звез-

ду" Ra , Rb , Rc , (рис. 2.26.)

18

Задача 2

1.Проработать материал, изложенный в литературе [3-6].

2.Порядок выполнения п.1 задания может быть Рекомендован следующим:

2.1.Задаться произвольно направлением тока во всех ветвях.

2.2. Определить число ветвей nв и узлов nу . При этом заданную

схему рекомендуется привести к более наглядному виду, объединив узлы, имеющие одинаковые потенциалы, и указав схемы включения источников тока. Например, схему на рис.2.27,а целесообразно представить в виде, показанном на рис.2.27,б.

2.3. Составить уравнения по первому закону Кирхгофа, число которых на единицу меньшеnу . В схеме рис.2.27,б 4 узла. По первому зако-

ну Кирхгофа составляем 3 уравнения, например, для узлов 1,2,3. Сопротивление вольтметра принимаем равным бесконечности, т.е. ток по

20

вольтметру не протекает. Сопротивление R4 и источник E4 включены последовательно и образуют 4-ю ветвь. Точка "О" узлом не является:

2.4. Составить уравнения по второму закону Кирхгофа, количество которых nк определяется уравнением nк = nв −(nу −1) − nJ , где nJ -

число источников тока. Уравнения составляются для независимых контуров, которые отличаются друг от друга хотя бы одной ветвью. Направление обхода контуров выбирается произвольно. Для схемы

рис.2.27,б нужно составить три уравнения (nк = 8 −(4 −1) − 2 = 3) . Для контура 2 − R3 − E3 −1 − R4 − E4 − 4 − R6 − E6 − 2

R3 I3 + R4 I4 − R6 I6 = E3 + E4 + E6 .

Для контура 1− R5 − E5 −3 − E1 − R1 − 4 − E4 R4 −1

R5 I5 − I1 R1 − R4 I4 = −E5 − E1 − E4 .

Для контура 2 − E6 − R6 − 4 − R1 − E1 −3 − E2 − R2 − 2

R6 I6 + R1 I1 − R2 I2 = −E6 + E1 − E2 .

Направление обхода для всех контуров выбрано по часовой стрелке. Контуры, для которых составляются уравнения, не должны содержать источников тока.

3. Порядок выполнения п.2 задания может быть рекомендован следующим:

3.1. Выбрать nк = nв −(nу −1) − nJ независимых контуров и на-

правления контурных токов в них. При этом предлагается придерживаться правил:

а) Контурные токи должны иметь одно направление (по часовой стрелке или против нее).

б) Контуры необходимо выбирать так, чтобы контурные токи в смежных ветвях имели разное направление.

3.2. Составить систему расчетных уравнений. При nк = 3 расчетные уравнения будут иметь вид:

R11 I11 + R12 I22 + R13 I33 = E11 ;

R21 I11 + R22 I22 + R23 I33 = E22 ;

R31 I11 + R32 I22 + R33 I33 = E33 ;

21

где R11 , R22 , R jj — собственные сопротивления соответственно пер-

вого, второго, j - го контуров, равные сумме сопротивлений ветвей рассматриваемого контура (R jj ≥ 0) ;

R12 , R23 , Rij — взаимные сопротивления смежных ветвей, ветвей, принадлежащих одновременно и контуру i и контуру j . При соблюдении рекомендованных выше правил (пункт 3.1,6) (R jj ≤ 0) ;

E11 , E22 , E jj — контурные ЭДС соответственно первого, второго, j −го контуров, равные алгебраической сумме ЭДС источников рас-

сматриваемого контура, включая ЭДС источников, эквивалентных источникам тока. Контура, для которых составляются уравнения, не должны содержать источников тока. Для схемы рис.2.27,б :

E22 = −E5 − E1 − E4 − J 2 R1 ;

E33 = −E6 + E1 − E2 + J 2 R1.

Если возникнут затруднения при определении контурных ЭДС можно рекомендовать преобразование источников тока в эквивалентные источники ЭДС. Для обобщенной ветви (рис.2.28,а ) закон Ома имеет вид

U = R(I + J ) − E

Этому уравнению соответствует схема замещения, представленная на рис.2.28,б. Величина эквивалентной ЭДС определяется уравнением

EJ = JR.

С учетом эквивалентных преобразований источников тока в источники ЭДС схема на рис.2.27,б примет вид, представленный на рис.2.29. Определение контурных ЭДС для такой схемы не вызывает затруднений.

22

Ток I3 и I1 (см. рис.2.27,б) можно определить на основании первого закона Кирхгофа для узлов 1 и 3.

I3 = I4 + I5 + J1 или I3 = I з' + J1 ;

I1 = −J 2 − I2 − I5 ; I1 = I1' − J 2 .

4. При расчете цепи методом узловых потенциалов один из узлов схемы условно заземляют, а его потенциал приравнивают к нулю. Для схемы на рис.2.27,б принимаем потенциал узла 4 равным нулю

(ϕ4 = 0) . Для определения потенциалов других узлов составляется система из (nу −1) уравнений (для схемы 2.27,6 nу −1 = 3 ). При nу −1 = 3 система расчетных уравнений имеет вид:

g11ϕ1 + g12ϕ2 + g13ϕ3 = I11 ; g21ϕ1 + g22ϕ2 + g23ϕ3 = I22 ; g31ϕ1 + g32ϕ2 + g33ϕ3 = I33 .

где gkk — собственная проводимость узла k, равная сумме проводимостей ветвей, сходящихся в узле k, gkk ≥ 0 ;

gkj — взаимная проводимость ветвей между узлами k и j, рав-

ная сумме проводимостей ветвей, расположенных между узлами k и j,

gkj ≤ 0 ;

Ikk — узловой ток k −го узла, расчетная величина, равная ал-

гебраической сумме токов источников тока и произведений ЭДС ветвей, сходящихся вk −ом узле, на проводимости этих ветвей.

Ikk = ∑J k + ∑Eki gki ,

Если ЭДС и ток источника тока направлены к узлу, то в правой части уравнения их записывают со Знаком "+". Для схемы на рис 2.27,6 имеем:

24

По найденным потенциалам и закону Ома находят токи в ветвях

5. На основании закона сохранения энергии количество теплоты, выделяющееся в единицу времени в сопротивлениях схемы, должно равняться энергии, доставляемой за то же время источниками питания. Общий вид уравнения энергетического баланса:

Знак ."+" соответствует генераторному режиму источника, т.е. случаю, когда ЭДС Ei совпадает по направлению с током Ii , а напряже-

25

ние на источнике тока Ui направлено против тока источника тока Ji . Для схемы рис.2.27,6 баланс мощностей определяется уравнением

E1 I1 + E2 I2 + E3 I3 + E4 I4 − E5 I5 − E6 I6 +U 21 J1 +U34 J 2 = I12 R1 + + I22 R2 + I32 R3 + I42 R4 + I52 R5 + I62 R6 .

Следует заметить, что в левую часть уравнения баланса мощностей токи и напряжения необходимо подставлять с теми знаками, которые получились в процессе расчета. Напряжения на источниках тока удобнее определить, используя потенциалы, полученные при расчете цепи методом узловых потенциалов:

U 21 =ϕ2 −ϕ1 ; U34 =ϕ3 −ϕ4 =ϕ3 (ϕ4 = 0).

6. Если возникают затруднения при определении напряжения, измеряемого вольтметром, можно рекомендовать следующее: составить уравнение по второму закону Кирхгофа для контура, включающего вольтметр.

Для схемы рис.2.27,б показание вольтметра определяется уравнением для контура a − E3 −1 − R4 −0 −V − a .

I4 R4 +UV = E3 , т.е. UV = E3 − I4 R4 .

7. Потенциальная диаграмма — график распределения потенциала вдоль какого-либо участка цепи или замкнутого контура. По оси абсцисс на нем откладывают в масштабе сопротивления участков в том порядке, в котором участки следуют друг за другом в цепи, а по оси ординат — значения потенциала в выбранном масштабе.

При построении потенциальной диаграммы одну (любую) точку схемы заземляют (принимают потенциал этой точки равным нулю). Нельзя заземлять две или большее число точек схемы, имеющих различные потенциалы. В этом случае через землю образуются дополнительные ветви, сама схема становится отличной от исходной, и токораспределение в ней меняется. При переходе через источник ЭДС по направлению, совпадающему с направлением действия ЭДС, потенциал возрастает скачкообразно на Е, а при прохождении через сопротивление, по направлению тока убывает на величину падения напряжения.

Для схемы на рис. 2.27,6 примем потенциал точки "а" равным нулю (ϕa = 0) . Тогда:

ϕ1 =ϕa + E3 ;

26