Задача 9.6. Пусть на плоскости задана система координат и точка

Mс координатами (a; b). Запишите координаты точки, в которую

Mпереходит при следующих преобразованиях:

а) симметрии относительно оси абсцисс; б) симметрии относительно оси ординат;

в) симметрии относительно начала координат;

г) повороте относительно начала координат на 90◦ в положительном направлении;

д) симметрии относительно прямой с уравнением y = x.

§ 10. Простейшие тригонометрические уравнения

Будем учиться решать тригонометрические уравнения. Начнем с самого простого: уравнения sin x = 1. Мы помним, что sin x — ордината точки x на тригонометрической окружности. На ней есть только одна точка с ординатой 1 — точка M на рис. 10.1а. Одно

Рис. 10.1. Простейшие уравнения.

из чисел, соответствующих точке M, — это число π/2. Кроме π/2 этой точке соответствуют, очевидно, все числа вида π/2+2πn, где n — целое число, и только они. Вместо «n — целое число» принято писать «n Z» (буквальный перевод: «n принадлежит множеству

43

Рис. 10.2. Простейшие уравнения: систематизация.

всех целых чисел, обозначаемому Z»). Итак, решения уравнения sin x = 1 можно записать так: x = π/2 + 2πn, n Z. Можно записать решения этого уравнения и в виде множества:

Решим еще уравнение cos x = 0. Так как cos x — абсцисса точки, соответствующей x, на тригонометрическом круге числу x могут соответствовать точки M и N (рис. 10.1б), и только они. Точке M, как мы только что выяснили, соответствуют числа вида π/2+2πn, n Z. Точке N соответствует, в частности, число −π/2, а значит, и все числа вида −π/2 + 2πm (m Z).

Можно записать оба эти множества чисел одной формулой, а именно x = π/2πn (n Z). Убедитесь, что эта формула дает в точности все числа, которым соответствует точка M или N на рис 10.1б.

Решения этих и аналогичных тригонометрических уравнений изображены на рис. 10.2.

44

x = 5π/6a + 2πn (n Z).

С уравнением sin x = 1/2 нам повезло в том отношении, что мы смогли явно указать число, синус которого равен 1/2. Чтобы решить уравнение sin x = a для произвольного a, нам нужно както обозначить число, синус которого равен a. При этом, если такие числа есть, то их много, так что нужно еще выбрать из них одно. Эти проблемы принято решать следующим образом:

Определение. Арксинусом числа a называется такое число x, что sin x = a и −π/2 6 x 6 π/2. Это число обозначается arcsin a.

Из рис. 10.4 видно, что arcsin a существует и однозначно определен, если −1 6 a 6 1. Если |a| > 1 (то есть a > 1 или a < −1), то arcsin a не определен, поскольку sin x не бывает больше 1 или меньше −1. Теперь мы можем записать в общем виде решения

45

Рис. 10.4. Арксинус.

46

уравнения sin x = a. Будем для начала считать, что −1 < a < 1. Тогда на тригонометрической окружности есть две точки с ординатой a (рис. 10.5).

Точка M1 соответствует, очевидно, числу arcsin a (а также числам, отличающимся от него на кратные 2π). Точка M2 соответствует числу π−arcsin a (вспомните уравнение sin x = 1/2, а также формулу приведения sin(π − x) = sin x). Все числа, соответствующие этим двум точкам, — это числа arcsin a+2πn и π−arcsin a+2πn (n Z). Стало быть, при |a| < 1 ответ к уравнению sin x = a таков:

x = arcsin a + 2πn;

(10.1)

x = π − arcsin a + 2πn (n Z).

Когда a приближается к 1, две точки с ординатой a на тригонометрической окружности приближаются друг к дружке, а когда a становится равным 1, они сливаются. Сливаются в одну и две «серии» решений уравнения sin x = a: каждая из двух формул переходит в знакомую нам π/2+2πn. Если же a > 1 (или a < −1), то уравнение sin x = a не имеет решений: точек с соответствующей ординатой на тригонометрической окружности просто нет.

Это напоминает положение дел с уравнением x2 = a: если a > 0, то корня два; когда a приближается к нулю, эти корни приближаются друг к другу, когда a = 0, два корня сливаются в один, а когда a отрицательно, то корней у уравнения x2 = a нет. Если, однако, рассматривать наряду с обычными еще и так называемые «комплексные числа», то окажется, что при a < 0 у уравнения x2 = a тоже есть два корня, но только комплексных. Аналогичным образом у уравнения sin x = a при a > 1 есть решения, являющиеся комплексными числами. Об этом у нас пойдет речь в главе 6.

Решения уравнения sin x = a можно записать и одной формулой:

Проверьте, что формула (10.2) дает другую запись того же ответа, что и формула (10.1) (для этого полезно отдельно разобрать случай четных n, когда (−1)n = 1, и нечетных n, когда (−1)n = −1).

47

Рис. 10.6. Арккосинус.

Запись ответа к уравнению sin x = a в виде (10.2) удобна, если ничего, кроме ответа, от нас не требуется. Если же нужен дальнейший анализ решений (как, например, в задаче 10.10 в конце параграфа), то запись (10.1) (в виде двух «серий») удобнее.

Разберемся теперь с уравнением cos x = a. Для записи его решений используется функция арккосинус.

Определение. Арккосинусом числа a называется такое число x, что cos x = a и 0 6 x 6 π. Это число обозначается arccos a.

Из рисунка 10.6 видно, что arccos a существует и однозначно определен, если −1 6 a 6 1, и не определен, если a > 1.

Теперь запишем решения уравнения cos x = a. Опять будем сначала считать, что −1 < a < 1. Решениям этого уравнения соответствуют точки с абсциссой a на тригонометрической окружности (рис. 10.7). Точка M1 соответствует числу arccos a, а точка M2 — числу − arccos a (вспомните формулу cos(−x) = cos x). Вспоминая, что числа, отличающиеся на кратные 2π, соответствуют одной и той же точке, получаем, что при |a| < 1 ответ к уравнению cos x = a таков:

x = arccos a + 2πn;

x = − arccos a + 2πn (n Z).

48

Рис. 10.7. cos x = a.

Если a = 1 или −1, этот ответ тоже верен, причем обе «серии» сливаются в одну (т. е. одни и те же значения x встречаются в обеих сериях); впрочем, при этих значениях a пользоваться общими формулами неразумно. Если же a > 1, то уравнение cos x = a не имеет решений.

Часто решения уравнения cos x = a кратко записывают так:

x = ± arccos a + 2πn, n Z.

Эта запись имеет те же преимущества и недостатки, что и запись решений уравнения sin x = a с помощью одной формулы.

Для записи решений уравнения tg x = a используется функция арктангенс.

Определение. Арктангенсом числа a называется такое число x, что tg x = a и −π/2 < x < π/2. Это число обозначается arctg a.

Из рис. 10.8 видно, что arctg a существует и однозначно определен для всех a.

Теперь решим уравнение tg x = a. Очевидно, что оно имеет решения для всех a и что его решения — числа, соответствующие точкам M1 и M2 на рис. 10.8. Точке M1, очевидно, соответствуют числа arctg a+2πn, а точке M2 — числа (arctg a+π)+2πk (если нанести на тригонометрическую окружность числа, отличающиеся на π, то получатся две диаметрально противоположные точки). Получилось две серии решений. Проще, однако, ответ записать так:

x = arctg a + πn (n Z).

49

Рис. 10.8. Арктангенс.

Эта запись дает верный ответ, так как при четных n получается точка M1, а при нечетных — точка M2. Впрочем, это также следует из того, что период тангенса равен π.

Осталось еще сказать про уравнение ctg x = a. Для его решения используется малоупотребительная функция арккотангенс.

Определение. Арккотангенсом числа a называется такое число x, что ctg x = a и 0 < x < π. Обозначается это число arcctg a.

Арккотангенс, как и арктангенс, определен для всех чисел и связан с арктангенсом простой формулой (см. задачу 10.5).

Решениями уравнения ctg x = a являются числа x = arcctg a+ + πn, n Z.

50

Задача 10.6. Постройте графики функций:

Задача 10.10. а) Сколько решений уравнения sin x = 1/2 лежит на отрезке [0; 10π]?

б) Сколько решений уравнения sin x = 1/3 лежит на отрезке

52