Глава 4

Формулы сложения и их следствия

§ 17. Векторы

Повторить: Свойства параллелограмма. Прямоугольные координаты на плоскости (по любому пособию).

17.1. Направленные отрезки и векторы

Чтобы как следует понять важный раздел тригонометрии, которому посвящена эта глава, нам придется познакомиться с векторами

зываются направленными отрезками. На чертежах их принято изображать в виде стрелки, идущей от начала отрезка к его концу. Направ-

ленный отрезок с началом A и концом B обозначается AB. Главное отличие направленных отрезков от обычных — это то,

в каких случаях два направленных отрезка считаются равными.

79

Рис. 17.2. AB = CD = KL.

Если обычные отрезки равны в том случае, когда равны их длины, то для направленных отрезков мы будем учитывать еще и направление. Именно:

Определение. Два направленных отрезка AB и CD считаются равными, если:

1)Равны их длины, т. е. AB = CD;

2)Прямые AB и CD параллельны (или совпадают), и при этом отрезки AB и CD направлены в одну сторону.

Например, на рис. 17.2 длины направленных отрезков AB, CD, KL, P Q и MN равны друг другу; тем не менее верны только равенства AB = CD = KL; направленные отрезки P Q и MN не равны друг другу и этим трем (P Q хоть и лежит на прямой, параллельной AB, но направлен в сторону, противоположную AB).

Если два направленных отрезка не лежат

на одной прямой, то определение их равенства

тогда и только тогда, когда четырехугольник ABDC является параллелограммом (рис 17.3).

(Вспомним, что четырехугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда

две его стороны равны и параллельны.) Обратите внимание, что вершины паралле-

лограмма идут в порядке ABDC: именно это обеспечивает выполнение того условия, что направленные отрезки AB и CD направлены в одну сторону, а не в противоположные.

80

Рис. 17.4. Координаты направленного отрезка.

Предположим теперь, что на плоскости задана система координат. Тогда можно определить, что такое координаты направленного отрезка.

По определению, координаты направленного отрезка получаются, если из координат его конца вычесть координаты начала. Точнее говоря:

Если точка A имеет координаты (x1; y1), а точка B имеет ко-

ординаты (x2; y2), то координатами направленного отрезка AB называется пара чисел (x2 − x1; y2 − y1).

В частности, если начало направленного отрезка OA совпадает с началом координат, то координаты OA — не что иное, как координаты точки A.

Геометрически можно представить координаты направленного отрезка так: проведем через его концы прямые, параллельные осям координат (рис. 17.4). Вместе с самим отрезком эти прямые ограничивают прямоугольный треугольник (AMB на рисунке)1. Координаты AB — это длины катетов этого треугольника, взятые с подходящим знаком («плюс», если при движении по катетам треугольника из начала в конец отрезка мы движемся в том же направлении, куда указывает соответствующая ось координат, и «минус» в противном случае).

1Если отрезок AB параллелен одной из осей, этот «треугольник» будет отрезком.

81

С формальной точки зрения наши рассуждения неполны: например, из равенства направленных отрезков мы вывели лишь равенство абсолютных величин их координат, ни словом не обмолвившись об их знаках. Это — неизбежное следствие того, что в определении равенства направленных отрезков мы пользовались наглядно очевидным, но не определенным формально понятием «отрезки направлены в одну сторону». Давайте сформулируем определение равенства направленных отрезков более строго.

Для случая, когда отрезки AB и CD не лежат на одной прямой, равенство AB = CD равносильно, как мы знаем, тому, что ABDC — параллелограмм. Однако четырехугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда его диагонали в точке пересечения делятся пополам, поэтому определение можно сформулировать еще и так:

82

AB = CD если и только если середины отрезков AD и BC совпадают. В таком виде это определение имеет смысл и в том случае, когда точки A, B, C и D лежат на одной прямой; легко убедиться, что и в этом случае оно равносильно нашему исходному определению. Такое определение равенства направленных отрезков уже безупречно с формальной точки зрения.

С помощью нового определения легко дать аккуратное доказательство того факта, что равенство направленных отрезков равносильно равенству их координат. В самом деле, пусть точки A, B, C, D имеют координаты соответственно (a1; a2), (b1; b2), (c1; c2), (d1; d2). Так как координаты середины отрезка являются полусуммами координат его концов, равенство AB = CD (то есть, по нашему определению, совпадение середин отрезков AD и BC) равносильно равенствам

Эти равенства, в свою очередь, равносильны равенствам b1−a1 = d1−c1, b2 − a2 = d2 − c2, то есть равенству координат AB и CD.

Задача 17.1. Точки M, N и P таковы, что координаты направленного отрезка MN равны (10; −14), а координаты направленного отрезка NP равны (−6; 26). Найдите координаты направленного отрезка MP .

Задача 17.2. Докажите, что длина направленного отрезка с коор-

p

динатами (x; y) равна x2 + y2.

Указание. Воспользуйтесь формулой, выражающей расстояние между точками через их координаты, или теоремой Пифагора.

Задача 17.3. Рассмотрим на плоскости наряду с той системой координат OXY , которая у нас уже есть (назовем ее «системой координат номер 1»), еще две следующие системы координат (рис. 17.6):

Система координат номер 2. Ее начало координат O0 имеет в системе номер 1 координаты (3; 2), а оси O0X0 и O0Y 0 параллельны осям OX и OY и направлены в ту же сторону.

Система координат номер 3. Ее начало координат совпадает с O, а оси OX00 и OY 00 повернуты на 45◦ в положительном направлении относительно осей OX и OY .

83

Рис. 17.6.

Пусть направленный отрезок имеет в системе координат номер 1 координаты (1; 1). Каковы будут его координаты: а) в системе номер 2? б) в системе номер 3?

Указание. Так как равные направленные отрезки имеют равные координаты, удобно рассмотреть равный данному направленный отрезок, имеющий своим началом точку O.

Втех случаях, когда все равно, о котором из равных направленных отрезков идет речь (в трех последних задачах так и было), направленные отрезки часто называют векторами.

Например, на рис. 17.2 изображено 5 различных направленных отрезков, но всего 3 различных вектора. Так как с точностью до равенства направленный отрезок полностью определяется координатами, для задания вектора не обязательно рисовать направленный отрезок: если есть система координат, то достаточно указать координаты, и вектор будет полностью определен.

Вбольшинстве интересных задач, в которых встречаются направленные отрезки, равные направленные отрезки взаимозаменяемы, так что обычно предпочитают говорить именно о векторах, а не о направленных отрезках.

Наряду с векторами, соответствующими настоящим отрезкам, рассматривают еще «нулевой вектор», имеющий координаты (0; 0). Можно сказать, что нулевой вектор соответствует любому из «отрезков» AA, у которого начало и конец совпадают. Как мы вскоре увидим, нулевой вектор играет роль, аналогичную роли нуля среди чисел.

Обозначать векторы можно так же, как и направленные отрезки; кроме того, иногда их обозначают латинскими буквами

84