§ 21. Двойные, тройные и половинные углы

Запишем формулы синуса, косинуса и тангенса суммы для частного случая, когда слагаемые равны. Получится вот что:

sin 2α = sin(α + α) = sin α · cos α + cos α sin α = 2 sin α cos α; cos 2α = cos α cos α − sin α sin α = cos2 α − sin2 α;

Стало быть, мы получили формулы, выражающие тригонометрические функции от 2α через тригонометрические функции от α:

sin 2α = 2 sin α cos α; cos 2α = cos2 α − sin2 α;

2 tg α tg 2α = 1 − tg2 α.

Формулу для cos 2α можно немного преобразовать. Если заменить в ней sin2 α на 1 − cos2 α, то получится формула, выражающая cos 2α через cos α:

cos 2α = cos2 α − sin2 α = cos2 α − (1 − cos2 α) = 2 cos2 α − 1.

Можно, наоборот, заменить cos2 α на 1−sin2 α. В итоге получается вот что:

cos 2α = 2 cos2 α − 1; cos 2α = 1 − 2 sin2 α.

Задача 21.1. Формулу cos 2α = 1 − 2 sin2 α можно доказать (для острых углов α) геометрически. Сделайте это, найдя двумя разными способами основание равнобедренного треугольника с углом при вершине 2α и боковой стороной 1.

Задача 21.2. а) Пусть sin α + cos α = m; найдите sin 2α. б) Пусть sin α − cos α = n; найдите sin 2α.

108

Задача 21.3. Докажите тождество:

cos α cos 2α cos 4α = sin 8α/8 sin α.

Указание. Умножьте и поделите левую часть на 8 sin α.

Задача 21.4. Найдите значения выражений, не используя калькулятор или таблицы:

а) cos(π/9) cos(2π/9) cos(4π/9); б) sin 10◦ sin 50◦ sin 70◦.

Подобно формулам для функций двойного угла, можно получать формулы для синуса и косинуса 3α, 4α и т.д. Например:

cos 3α = cos(2α + α) = cos 2α cos α − sin 2α sin α =

=(cos2 α − sin2 α) cos α − 2 sin α cos α sin α =

=cos3 α − 3 sin2 α cos α =

(заменяем sin2 α на 1 − cos2 α)

=cos3 α − 3 sin2 α cos α = cos3 α − 3(1 − cos2 α) cos α =

=4 cos3 α − 3 cos α.

Задача 21.5. Выведите вторую из нижеприведенных формул: cos 3α = 4 cos3 α − 3 cos α;

sin 3α = 3 sin α − 4 sin3 α.

Мы не будем выписывать формулы для синуса и косинуса nα при n, больших 3. Для небольших значений n читатель легко сделает это сам; как устроена формула для произвольного n, мы узнаем, когда познакомимся с комплексными числами.

На наши формулы для cos 2α можно посмотреть и с другой стороны. Именно, выразим в этих формулах cos2 α или sin2 α через cos 2α. Получается вот что:

cos2 α = 1 + cos 2α; 2

sin2 α = 1 − cos 2α. 2

109

Эти формулы часто называют формулами понижения степени; вот два их применения.

Во-первых, давайте заменим всюду в этих формулах α на α/2. Получится вот что:

cos2(α/2) = (1 + cos α)/2; sin2(α/2) = (1 − cos α)/2.

Если теперь извлечь из обеих частей квадратные корни, то полу-

до знака — мы можем найти также синус и косинус числа α/2. Если отбросить в формулах половинного угла знаки абсолют-

лучится неверная формула: правая часть у нее всегда неотрицательна (по определению квадратного корня), а левая часть может быть отрицательной. Если мы знаем только значения тригонометрических функций от угла α, то для определения знаков sin α и cos α нужна дополнительная информация.

Такая неоднозначность в определении значений функций половинного угла не удивительна: если мы знаем только sin α и cos α, то нам известно расположение точки, соответствующей числу α, на тригонометрической окружности, но узнать, где на окружности находится число α/2, без дополнительной информации нельзя: если числа α и β отличаются на 2π, то сами они занимают на тригонометрической окружности одно и то же место, а числа α/2 и β/2 диаметрально противоположны.

Задача 21.6. а) Найдите cos(x/2), если cos x = 1/3, 2π < x < 3π. б) Найдите sin(x/2), если cos x = 1/4, 0 6 x 6 π.

в) Пусть нам требуется найти sin(x/2), если cos x = 1/4 и a − − 2π 6 x 6 a. Для каких a из отрезка [0; π/2] эта задача будет иметь единственное решение?

110

Задача 21.7. В треугольнике против сторон a, b, c лежат углы A, B, C. Докажите следующие формулы:

(p = (a + b + c)/2 — полупериметр).

Второй пример применения формул понижения степени относится к физике. Как известно, если «нагрузка» (например, лампочка) сопротивлением R находится под напряжением U, то на ней выделяется мощность U2/R. Если ток у нас переменный, то напряжение U, а стало быть, и мощность все время меняются; практический интерес представляет среднее значение этой мощности. Давайте его найдем. Пусть напряжение зависит от времени по закону U = U0 cos ωt, где U0 — амплитуда (максимальное значение напряжения). Тогда по формуле понижения степени имеем:

=U02/2R + (U02/R) cos 2ωt.

Вэтой сумме меняется со временем только второе слагаемое, но при этом его среднее значение равно нулю: половину времени число cos 2ωt положительно, другую половину — отрицательно, а при усреднении эти положительные и отрицательные значения компенсируют друг друга (см. рис. 21.1).

Поэтому среднее значение мощности равно первому слагаемо-

√

му, то есть U02/2R. Если обозначить U = U0/ 2, то получится,

111

что средняя мощность равна (U2)/R. Стало быть, средняя мощность, выделяемая на сопротивлении R в цепи переменного тока

с амплитудой напряжения U , такая же, как если бы ток был по-

0 √

стоянен, а напряжение было в 2 раз меньше, чем U0. Величину U называют среднеквадратичным значением напряжения; именно его имеют в виду, когда говорят, что напряжение равно 220 .

Задача 21.8. Докажите тождества:

а) sin2(α + β) + sin2(α − β) + cos 2α · cos 2β = 1; б) cos2(α + β) + cos2(α − β) − cos 2α · cos 2β = 1;

в) cos6 x + sin6 x = 58 + 38 cos 4x.

Задача 21.9. Упростите выражение sin4 x+ cos4 x и постройте график функции y = sin4 x + cos4 x.

Мы уже выписывали формулы для | sin(α/2)| и | cos(α/2)|, так что формулу для | tg(α/2)| можно получить, просто поделив эти

(мы воспользовались формулами синуса двойного угла и понижения степени). Можно было бы также умножить числитель и знаменатель на 2 sin(α/2):

112

113

тождество, в обеих частях которого стоят выражения относительно sin α и cos α: надо только выразить всюду sin α и cos α через tg(α/2), после чего, если обозначить tg(α/2) через t, получится алгебраическое тождество с одной переменной t, проверка которого может потребовать времени, но не изобретательности. Точно так же любое тригонометрическое уравнение, в котором левая и правая части выражены через sin x и cos x, сводится с помощью этих формул к алгебраическому уравнению относительно tg(x/2) (впрочем, для решения уравнений в «школьном» смысле эта подстановка мало что дает, поскольку при этом, как правило, получаются алгебраические уравнения высокой степени).

Формулы, выражающие тригонометрические функции через тангенс половинного угла, называются «формулами универсальной подстановки».

На формулы универсальной подстановки можно посмотреть и еще с одной стороны. Рассмотрим нашу старую знакомую — окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Уравнение этой окружности x2 +y2 = 1 можно рассматривать как рецепт проверки, принадлежит ли окружности данная точка: «подставь ее координаты (x; y) в уравнение; точка будет лежать на окружности, если при этом получится верное равенство». После того, как мы определили функции синус и косинус, появляется возможность описать окружность, что называется, параметрически, а именно задать координаты всех ее точек формулами: «точки окружности — это точки с координатами (cos α; sin α) для всевозможных чисел α». Если теперь выразить cos α и sin α через t = tg(α/2), то точки окружности окажутся заданными с помощью формул, не использующих тригонометрии: точки окружности с уравнением x2 + y2 = 1 —

нальных функций» от t (рациональная функция — это функция, для вычисления значения которой достаточно четырех действий арифметики и возведения в целую степень).

Представим теперь, что кривая задается не уравнением x2+y2 = 1, а каким-то другим алгебраическим уравнением. Спрашивается, можно ли

1Строго говоря, эти формулы задают все точки окружности, кроме (−1; 0). Мы не будем обращать внимания, если конечное число точек формулой не охватывается.

114